EDO de variables separables

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Herramienta interna. Aparece dentro de lineales, homogéneas y Bernoulli; no es un tipo aislado en los prácticos oficiales relevados.

Cómo reconocerlo

Podés dejar todas las expresiones de $y$ con $dy$ y todas las de $x$ con $dx$:

$$y'=a(x)b(y)\quad\Longrightarrow\quad\frac{dy}{b(y)}=a(x)dx.$$

Pasos cortos

1. Reemplazá $y'$ por $dy/dx$.
2. Multiplicá por $dx$.
3. Dividí por la expresión de $y$, si no es cero.
4. Integrá el lado con $y$ respecto de $y$ y el otro respecto de $x$.
5. Agregá una sola constante $C$: las dos constantes se pueden juntar.
6. Despejá $y$ si se puede.
7. Si hay dato inicial, reemplazalo para encontrar $C$.
8. Comprobá aparte los valores que anulaban el divisor del paso 3.

Ejemplo para practicar la separación

Este ejemplo es didáctico, no un enunciado oficial: $y'=2xy$.

1. $dy/dx=2xy$.
2. $dy=2xy\,dx$.
3. Para $y\ne0$: $dy/y=2x\,dx$.
4. Integrá: $\ln|y|=x^2+C$.
5. Aplicá exponencial y reuní la constante: $y=Ke^{x^2}$.
6. El valor $y=0$ perdido al dividir también sirve; está incluido al permitir $K=0$.

$$\boxed{y=Ke^{x^2},\qquad K\in\mathbb R}$$

Si además $y(0)=3$, reemplazá: $3=Ke^0=K$. La solución particular es $y=3e^{x^2}$.

Integrales pequeñas que vas a usar

• $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$, con $n\ne-1$.
• $\int dx/x=\ln|x|+C$.
• $\int e^{ax}dx=e^{ax}/a+C$, con $a\ne0$.
• $\int 2x/(1+x^2)\,dx=\ln(1+x^2)+C$, usando $w=1+x^2$, $dw=2x\,dx$.

Son cuentas necesarias para los ejercicios, no una unidad teórica para estudiar aparte.

Comprobá y evitá estos errores

• Derivá $Ke^{x^2}$: da $2xKe^{x^2}=2xy$.
• No dejes $x$ mezclada con $dy$ si todavía no separaste.
• Si dividís por $y$, comprobá $y=0$ en la ecuación original.
• $\ln|y|$ lleva módulo, y $e^{C}$ no representa por sí solo todas las constantes reales: al despejar se incorpora también el signo.
• Prueba sin mirar: separá $v'+8v=0$ y obtené $dv/v=-8dx$.

En qué ejercicios oficiales aparece

No aparece en los parciales prácticos oficiales relevados.

Fuente

• 08-ECUACIONES DIFERENCIALES 2015, p. 3
• 14_Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, p. 1
• AM2 Resumen segundo parcial, p. 21