ANÁLISIS MATEMÁTICO II2º parcial práctico

EDO homogénea de 1.er orden

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Tema A de junio de 2026. «Homogénea de primer orden» es un método distinto de la homogénea de segundo orden. Acá el cambio es $y=ux$ .

Cómo reconocerlo

Despejá $y'$ . Si queda una función del cociente $y/x$ , probá este método. Por ejemplo:

y'=\frac{2y^2}{x^2+2xy}=\frac{2(y/x)^2}{1+2(y/x)}.

La segunda igualdad sale de dividir numerador y denominador por $x^2$ en un intervalo donde $x\ne0$ .

Juntá los términos con $y'$ y despejá la derivada.
Dividí por la potencia de $x$ necesaria para ver $y/x$ .
Escribí $u=y/x$ , es decir $y=ux$ .
Derivá el producto: $y'=u+xu'$ . No es solamente $xu'$ .
Reemplazá $y/x$ por $u$ y $y'$ por $u+xu'$ .
Despejá $xu'$ .
Escribí $u'=du/dx$ y separá: expresiones de $u$ con $du$ , expresiones de $x$ con $dx$ .
Integrá ambos lados y usá una constante $C$ .
Reemplazá $u$ por $y/x$ .
Revisá las soluciones que pudiste perder al dividir por $u$ u otra expresión.

2y^2-x^2y'-2xyy'=0.

u+xu'=\frac{2u^2}{1+2u}.

xu'=\frac{2u^2-u(1+2u)}{1+2u}=-\frac{u}{1+2u}.

\left(\frac1u+2\right)du=-\frac{dx}{x}.

\ln|u|+2u=-\ln|x|+C.

\boxed{\ln|y|+\frac{2y}{x}=C}.

Usamos $\ln|y/x|+\ln|x|=\ln|y|$ . Esta expresión trabaja en intervalos donde las operaciones anteriores están definidas, con $x\ne0$ e $y\ne0$ .

Revisá lo perdido al dividir por $u$ : $y=0$ también resuelve la ecuación original. Escribilo aparte.

\frac{y'}y+\frac{2y'}x-\frac{2y}{x^2}=0.

Multiplicá por $x^2y$ : $x^2y'+2xyy'-2y^2=0$ , la original cambiada de signo.
No confundas «misma potencia total» con que todos los términos tengan el mismo exponente de $x$ .
Conservá el módulo en el logaritmo, salvo que estés trabajando explícitamente con $y>0$ .
Prueba sin mirar: reconstruí $y'=u+xu'$ antes de despejar nada más.