2º Parcial Práctico — Comisión 1H9 (Tema A)

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Fijate qué tiene el integrando y qué tiene la región: ¿qué combinación de $x$ e $y$ aparece en las dos cosas? ¿Qué cuerpo forma $z^2=x^2+y^2$ cortado entre $z=0$ y $z=4$: un cono, un cilindro, una esfera? ¿Se parece a una “copa” o a un “tubo”?

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Como $x^2+y^2$ se repite, conviene coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $x^2+y^2=r^2$, $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. Hay que despejar $z$ de la superficie para obtener los límites de $z$ y ver hasta dónde llega $r$. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

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Planteo casi hecho: el integrando $x\sqrt{x^2+y^2}$ se vuelve $r\cos\theta\cdot r$ y con el jacobiano queda $r^3\cos\theta$. El cono es $z=r$; $z$ va de $r$ hasta $4$, $r$ de $0$ a $4$ y $\theta$ de $0$ a $2\pi$:

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Qué: dibujar la región. Por qué: para saber qué superficie es el “piso” y cuál el “techo” de $z$. La ecuación $z^2=x^2+y^2$ es un cono de eje $z$ (de dos mantos); con $0\le z\le4$ nos quedamos con el manto de arriba, y el plano $z=4$ lo tapa. Cómo reconocerlo: $z^2=x^2+y^2$ (o su forma $z=\sqrt{x^2+y^2}$) siempre es un cono con vértice en el origen.

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Qué: pasar a cilíndricas. Por qué: la región es de revolución alrededor del eje $z$ y el integrando solo mezcla $x$ con $x^2+y^2$. Con $x=r\cos\theta$ y $r\ge0$ (por eso $\sqrt{r^2}=r$ y no $|r|$):

Se multiplica por el jacobiano $r$ (en valor absoluto, es positivo): el integrando queda $r^3\cos\theta$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar los límites. Por qué: $z^2=r^2$ y como $z\ge0$ queda $z=r$ (el cono). Para cada $(r,\theta)$, $z$ va desde el cono hasta la tapa: $r\le z\le4$. La tapa $z=4$ corta al cono en $r=4$, así que $0\le r\le4$. Como el cuerpo da la vuelta entera, $0\le\theta\le2\pi$.

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Qué: integrar en $z$ (la más interna). Por qué: solo hay un $dz$:

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Qué: integrar en $r$. Por qué: se multiplica por $r^3$, se distribuye y se primitiva cada potencia:

Resumido: $\int_0^4 r^3(4-r)\,dr=\frac{256}{5}$.

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: es lo que queda y vale cero: el coseno es positivo en el lado $x>0$ y negativo en el $x<0$, y como el cuerpo es simétrico se cancelan.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: que dé $0$ no te dispensa de plantear bien: hay que mostrar el integrando $r^3\cos\theta$, los límites $r\le z\le4$ y el $256/5$ de la parte radial. Un resultado “0” sin planteo no sirve.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide “planteo y desarrollo consistente” y todos los cálculos auxiliares; el enunciado no exige gráfico):

• Bien: cilíndricas con integrando $r^3\cos\theta$ (jacobiano incluido), límites $0\le\theta\le2\pi$, $0\le r\le4$, $r\le z\le4$, cálculo de la parte radial ($\frac{256}{5}$) y $IT=0$ justificado por $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0$.
• A medias: planteo y límites correctos pero con un error de cuenta.
• Mal: límites de $z$ incorrectos (por ejemplo $0\le z\le4$ sin el cono), integrando sin el jacobiano (aunque el resultado siga dando $0$ por simetría, el planteo está mal) o sin planteo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Dos caminos independientes. 1) Simetría: el integrando $x\sqrt{x^2+y^2}$ es impar en $x$ y la región es simétrica respecto del plano $x=0$ (el cono no cambia si cambiás $x$ por $-x$), así que la integral vale $0$ sin hacer cuentas.

2) Otro orden (radial, que además verifica el $\frac{256}{5}$): se integra primero en $r$ con $z$ fijo. Para cada $z$ entre $0$ y $4$, $r$ va de $0$ a $z$:

Mismo número que la parte radial, y multiplicado por $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0$ da $IT=0$.

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Fijate el verbo: te piden calcular por definición una integral sobre una curva cerrada formada por dos ecuaciones. Dibujá las dos curvas: ¿en qué puntos se cortan y cómo se ve la figura que encierran? ¿Qué sentido de recorrido te piden?

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Es una integral curvilínea de un campo vectorial y, como la curva cerrada se arma con dos tramos ($C_1$ y $C_2$), se calcula como $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$, parametrizando cada tramo y respetando el sentido antihorario ($+$). Primero hay que hallar los cortes igualando las curvas. Machete: Curvilínea por definición.

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Planteo casi hecho: los cortes son $(0,0)$ y $(2,2)$. $C_1$ ($y=x^2-x$) va de $x=0$ a $x=2$ con $dy=(2x-1)\,dx$; $C_2$ ($x=y^2-y$) va de $y=2$ a $y=0$ con $dx=(2y-1)\,dy$. El campo es $P=x-y$, $Q=-(y-x)=x-y$:

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Qué: hallar los cortes y dibujar. Por qué: los cortes son los extremos de cada tramo. Reemplazo $y=x^2-x$ en la segunda ecuación $x=y^2-y$:

Entonces $x=0$ o $x=2$, y con $y=x^2-x$: $(0,0)$ y $(2,2)$ (los dos puntos también cumplen $x=y^2-y$). Cómo reconocerlo: una parábola “parada” ($y=\dots x^2$) y otra “acostada” ($x=\dots y^2$) con las mismas coeficientes son simétricas respecto de la recta $y=x$: por eso los cortes están sobre esa recta.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar el sentido y los tramos. Por qué: $+$ es antihorario: caminando, la región $D$ debe quedar a la izquierda. Por la parábola $y=x^2-x$ (la de abajo), con $x$ creciendo de $0$ a $2$, $D$ queda arriba, a la izquierda: ese es $C_1$ de $(0,0)$ a $(2,2)$. Para cerrar, se vuelve por $x=y^2-y$ de $(2,2)$ a $(0,0)$: $C_2$ con $y$ decreciendo de $2$ a $0$.

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Qué: simplificar el campo. Por qué: el segundo término es $-(y-x)\,dy=(x-y)\,dy$, o sea $P=Q=x-y$ y se puede sacar factor común:

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Qué: $IC_1$ por definición ($x$ de $0$ a $2$). Por qué: se reemplaza $y=x^2-x$ y $dy=(2x-1)\,dx$:

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Qué: $IC_2$ por definición ($y$ de $2$ a $0$). Por qué: ahora la variable es $y$: $x=y^2-y$ y $dx=(2y-1)\,dy$.

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Qué: sumar los dos tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el sentido de $C_2$: si recorrés $y$ de $0$ a $2$ (al revés) el tramo cambia de signo y el total da $0$ en lugar de $\frac{16}{3}$.

Criterio estimado — no oficial (el enunciado pide “por definición”; no exige gráfico, pero sin los cortes no se puede plantear):

• Bien: cortes $(0,0)$ y $(2,2)$, sentido antihorario con los dos tramos y sus límites ($C_1$: $x$ de $0$ a $2$; $C_2$: $y$ de $2$ a $0$), $IC_1=\frac83$, $IC_2=\frac83$ y $IC=\frac{16}{3}$.
• A medias: planteo correcto de los dos tramos con un error de cuenta; o un tramo con el sentido invertido.
• Mal: resolver solo por Green (no es “por definición”), sin cortes o con un solo tramo (curva sin cerrar).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: teorema de Green (la curva es cerrada, simple y antihoraria). Con $P=x-y$ y $Q=x-y$:

Entonces $IC=2\cdotA(D)$. El área sale de $A=\oint x\,dy$, tramo por tramo:

Mismo valor que por definición. (Green sirve para controlar, pero el enunciado pide el cálculo por definición.)

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Mirá cómo están escritos $y$ y $y'$: ¿aparecen $y^2$ y $x^2y'$, o sea cada término tiene el “mismo grado total”? Probá reemplazar $x$ e $y$ por $tx$ y $ty$: ¿qué pasa con la ecuación?

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Despejando $y'=\dfrac{2y^2}{x^2+2xy}$ el segundo miembro depende solo del cociente $y/x$: es una EDO homogénea de 1.er orden. Se resuelve con la sustitución $y=u\,x$ (entonces $y'=u'x+u$), que la convierte en una ecuación de variables separables en $u$ y $x$. Machete: EDO homogénea.

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Planteo casi hecho: con $y=ux$ el segundo miembro queda $\dfrac{2u^2}{1+2u}$ y la ecuación es $u'x+u=\dfrac{2u^2}{1+2u}$. Pasá $u$ restando, separá $u$ de un lado y $x$ del otro e integrá:

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Qué: despejar $y'$. Por qué: hay que dejar la ecuación como $y'=f(x,y)$ para ver su tipo.

Cómo reconocerlo: numerador y denominador son de grado $2$ en ($x$, $y$); si dividís arriba y abajo por $x^2$ queda $\dfrac{2(y/x)^2}{1+2(y/x)}$: solo depende de $y/x$. Eso es una EDO homogénea.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: sustituir $y=ux$. Por qué: así todo queda en función de $u$ y $x$. Con $y=u\,x$ se deriva como producto: $y'=u'x+u$.

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Qué: separar variables. Por qué: se pasa $u$ al otro lado y se busca dejar $u$ a un lado y $x$ al otro.

Con $u'=\dfrac{du}{dx}$:

(Se dividió por $u$: ver el “Ojo con”.)

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Qué: integrar los dos lados. Por qué: una vez separadas, cada lado es una integral de una sola variable. Se parte $\frac{1+2u}{u}=\frac1u+2$:

Se pasa $\ln|x|$ al otro lado y se juntan los logaritmos ($\ln a+\ln b=\ln ab$):

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Qué: volver a las variables originales. Por qué: la respuesta tiene que estar en $x$ e $y$. Como $u=y/x$, el producto $ux=y$:

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Ojo con: al dividir por $u$ se pierde la solución $y=0$ (que verifica la EDO: $0-0-0=0$). El profe no la menciona; conviene anotarla aparte. Y no te olvides de volver a $y$: dejar la respuesta en $u$ es dejar el ejercicio a medias.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente):

• Bien: reconoce la homogénea, sustituye $y=ux$, $y'=u'x+u$, separa variables, integra y vuelve a $x,y$: $\ln|y|+\frac{2y}{x}=C$.
• A medias: plantea bien y llega a la ecuación separada, pero se equivoca al integrar o no vuelve a las variables originales.
• Mal: no reconoce el tipo, o sustituye sin derivar $y=ux$ como producto ($y'=u'x+u$).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: derivar la solución implícitamente respecto de $x$ (con $y=y(x)$) y comprobar que recupera la EDO.

Multiplicando todo por $x^2y$:

Cambiando de signo es exactamente $2y^2-x^2y'-2xyy'=0$, la ecuación original.

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Antes de nada mirá qué te piden: la solución general de una EDO de 2.º orden con segundo miembro. ¿Es lineal? ¿Los coeficientes son constantes? ¿Qué forma tiene el segundo miembro ($e^x-x$)? Pensá en cuántas partes tiene la solución general.

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Es una EDO lineal de 2.º orden de coeficientes constantes no homogénea: la solución general es $y=y_h+y_p$. $y_h$ sale de la ecuación característica $r^2-2r+1=0$ y $y_p$ por coeficientes indeterminados: una parte para $e^x$ y otra para el polinomio $-x$. Ojo con que $e^x$ ya aparece en $y_h$. Machete: Coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: raíz doble $r=1$, entonces $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$. Como $e^x$ y $xe^x$ ya están en $y_h$, la parte de $e^x$ se multiplica por $x^2$:

Derivá dos veces, reemplazá en la EDO e igualá coeficientes.

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Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución de $y''-2y'+y=0$ y sale de la ecuación característica (se prueba $y=e^{rx}$).

Con raíz doble, las dos soluciones independientes son $e^x$ y $x\,e^x$:

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Qué: proponer la forma de $y_p$. Por qué: el segundo miembro es $e^x-x$, suma de dos tipos; cada uno aporta su forma. Para $-x$ (polinomio de grado 1) se propone $Bx+D$; como $r=0$ no es raíz de la característica, no hay que corregir. Para $e^x$ correspondería $Ae^x$, pero $e^x$ y $xe^x$ ya están en $y_h$ (resonancia, $r=1$ doble): se multiplica por $x^2$. Cómo reconocerlo: si lo que propondrías ya está en $y_h$, subí la potencia de $x$ hasta que deje de estarlo (acá hasta $x^2$, por ser raíz doble).

(uso $A$, $B$, $D$ para no chocar con $C_1$, $C_2$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la EDO. Para $Ax^2e^x$ se usa la regla del producto:

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Qué: reemplazar en $y''-2y'+y$. Por qué: $y_p$ tiene que satisfacer la EDO completa. Se agrupa lo que tiene $e^x$ y lo que no:

Parte con $e^x$:

(los términos en $x^2$ y en $x$ se cancelan: $A-2A+A=0$ y $4A-4A=0$). Parte sin $e^x$: $Bx-2B+D$. Entonces:

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Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos expresiones son iguales para todo $x$ solo si coinciden los coeficientes de $e^x$, de $x$ y el término independiente.

• $e^x$: $2A=1$, entonces $A=\frac12$.
• $x$: $B=-1$.
• independiente: $-2B+D=0$, entonces $D=2B=-2$.

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Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: la resonancia: si proponés $Ae^x$ o $Axe^x$ en vez de $Ax^2e^x$, el término $e^x$ se anula al reemplazar y no hay forma de que $2A=1$ cierre.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente):

• Bien: $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$ (raíz doble), $y_p$ con $x^2e^x$ por resonancia, $A=\frac12$, $B=-1$, $D=-2$ y $y=y_h+y_p$.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ correctas, pero un error de cuenta en las derivadas o en los coeficientes; o una solución general sin $y_h$.
• Mal: $y_h$ incorrecta o $y_p$ sin corregir por resonancia (no se puede determinar $A$).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Dos controles independientes. 1) Cambio $y=e^xw$ para la parte con $e^x$: como $y'=e^x(w+w')$ e $y''=e^x(w+2w'+w'')$, queda $y''-2y'+y=e^x\,w''$. Para que sea $e^x$ hace falta $w''=1$, o sea $w=\frac{x^2}{2}$ (más $C_1+C_2x$, que es $y_h$): $y=\frac12x^2e^x$, que coincide con el término hallado.

2) Sustituir la parte polinomial $y=-x-2$ (con $y'=-1$, $y''=0$):

que es el $-x$ del segundo miembro. Y $\frac12x^2e^x$ da $e^x$ (control 1), así que la suma da $e^x-x$.