Recuperatorio 2º Parcial Práctico — Comisión 1H9

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Leé qué te piden: un volumen entre un paraboloide y un plano. Preguntate: ¿qué forma tiene la “sombra” del sólido sobre $xy$ y cuál es el techo y cuál el piso?

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Es un volumen entre dos superficies con integral doble en polares: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$ (sin olvidar el jacobiano). Hay que igualar las $z$ para hallar el radio de la base. Machete: Volumen en polares/cilíndricas.

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Planteo casi hecho: techo $z=2$, piso $z=r^2$, $D:\ 0\le r\le\sqrt2,\ 0\le\theta\le2\pi$:

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Qué: dibujar el sólido. Por qué: para saber qué es techo y qué es piso. $z=x^2+y^2$ es un paraboloide con vértice en el origen que abre hacia arriba; el plano $z=2$ lo “tapa” por arriba. El sólido es una copa llena hasta $z=2$.

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Qué: hallar la intersección. Por qué: define el radio de la base. Igualando las $z$: $x^2+y^2=2$, que es una circunferencia de radio $r=\sqrt2$ (se descarta $r=-\sqrt2$, un radio no es negativo). Base: $0\le r\le\sqrt2$, $0\le\theta\le2\pi$.

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Qué: plantear en polares. Por qué: la base es un círculo, $x^2+y^2=r^2$, y el jacobiano agrega el factor $r$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$. Por qué: primitiva de cada potencia, con $\theta$ ausente. Evaluando en $r=\sqrt2$ (en $0$ vale $0$): $r^2=2$ y $r^4=4$.

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda no depende de $\theta$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el jacobiano $r$, y que el radio de la base es $\sqrt2$ (no $2$): el $2$ es la altura.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: dibujo con techo $z=2$ y piso $z=r^2$, radio de la base $\sqrt2$ (de $r^2=2$), integral $\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt2}(2-r^2)\,r\,dr\,d\theta$ con jacobiano y $V=2\pi$.
• A medias: planteo correcto (techo − piso, polares, jacobiano) con un error de cuenta que cambia el resultado.
• Mal: sin planteo, sin jacobiano, radio $2$ en vez de $\sqrt2$, o techo y piso invertidos.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, por rebanadas horizontales: a altura $z$ la sección es un círculo de radio $\sqrt z$ (de $r^2=z$), con área $\pi z$:

Otra forma: cilindro de radio $\sqrt2$ y altura $2$ ($\pi\cdot2\cdot2=4\pi$) menos el volumen bajo el paraboloide ($\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt2}r^2\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot1=2\pi$): $4\pi-2\pi=2\pi$.

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Fijate qué te piden: la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada formada por una recta y una parábola (“funciones lineales”, dice el original, aunque una es parábola). Dibujalas: ¿dónde se cortan? ¿Qué sentido tiene que llevar cada tramo?

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Pide explícitamente por definición: parametrizar cada tramo con $x$ y calcular $\int P\,dx+Q\,dy$ en cada uno, respetando el sentido antihorario. Antes hay que hallar los cortes (igualando). Machete: Curvilínea por definición.

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Planteo casi hecho: la recta $C_1$ va de $x=-3$ a $x=2$ y la parábola $C_2$ de $x=2$ a $x=-3$. Con $P=x^2-y$, $Q=x^2+y$: $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$, usando $dy=dx$ en $C_1$ y $dy=-2x\,dx$ en $C_2$.

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Qué: dibujar y hallar los cortes. Por qué: para fijar los extremos de cada tramo y el sentido. Igualando $x-2=-x^2+4$ queda $x^2+x-6=0$, o sea $(x+3)(x-2)=0$: $x=-3$ ($y=-5$) y $x=2$ ($y=0$). Cortes: $(-3,-5)$ y $(2,0)$. La parábola queda arriba de la recta entre ellos; en sentido antihorario la recta (abajo) va de izquierda a derecha y la parábola (arriba) de derecha a izquierda.

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Qué: calcular $IC_1$ sobre $y=x-2$, con $dy=dx$ y $x$ de $-3$ a $2$. Por qué: se reemplaza la curva dentro de $P\,dx+Q\,dy$.

• $P=x^2-(x-2)=x^2-x+2$
• $Q\,dy=\big(x^2+x-2\big)\,dx$

Sumando se van $-x$ con $+x$ y $+2$ con $-2$: $P\,dx+Q\,dy=2x^2\,dx$.

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Qué: calcular $IC_2$ sobre $y=-x^2+4$, con $dy=-2x\,dx$ y $x$ de $2$ a $-3$. Por qué: igual, pero cambia el sentido.

• $P=x^2-(-x^2+4)=2x^2-4$
• $Q=x^2+(-x^2+4)=4$, entonces $Q\,dy=4\cdot(-2x)\,dx=-8x\,dx$

Con los límites de $2$ a $-3$ conviene pasar a $-3$ a $2$ con un signo menos:

Evaluando: en $x=2$ vale $\tfrac{16}{3}-16-8=-\tfrac{56}{3}$; en $x=-3$ vale $-18-36+12=-42$. La diferencia es $-\tfrac{56}{3}+42=\tfrac{70}{3}$, entonces $IC_2=-\tfrac{70}{3}$.

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Qué: sumar los tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: que dé $0$ no significa que el campo sea conservativo: $\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}=2x+1\neq0$. Acá se anula porque las contribuciones de las dos mitades de $D$ se compensan.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: cortes $x=-3$ y $x=2$, sentido antihorario, $IC_1=\frac{70}{3}$ (recta, $x$ de $-3$ a $2$), $IC_2=-\frac{70}{3}$ (parábola, $x$ de $2$ a $-3$) y $IC=0$, con la suma justificada.
• A medias: planteo correcto de los dos tramos con un error de cuenta; o un tramo con el sentido invertido.
• Mal: resolver solo por Green (el enunciado pide “por definición”), sin cortes o con un solo tramo (curva sin cerrar).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente, con el teorema de Green (circulación antihoraria $=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$): $Q_x-P_y=2x+1$ y la región es $-3\le x\le2$, $x-2\le y\le4-x^2$, de altura $6-x-x^2$:

(se ve también con $w=x^2+x$: $(2x+1)\,dx=dw$ y $w$ vale $6$ en los dos extremos).

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Mirá la ecuación: hay $y'$, un término lineal $2y$ y del lado derecho una potencia de $y$ ($y^{-3}$). ¿Es lineal en $y$? ¿Qué cambio de variable la convertiría en una que ya sabés resolver?

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Es una EDO de Bernoulli, $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, con $n=-3$. Se multiplica por $y^{-n}=y^3$ para que el lado derecho quede sin $y$, se hace el cambio $z=y^{1-n}=y^4$ y queda una lineal en $z$, que se resuelve con $z=u\cdot v$. El enunciado pide hacerlo paso a paso, sin la fórmula general. Machete: EDO de Bernoulli.

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Planteo casi hecho: $y^3y'+2y^4=1$; con $z=y^4$ es $z'=4y^3y'$, o sea $\tfrac{z'}{4}+2z=1$:

Después $z=u\cdot v$ con $v'+8v=0$.

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Qué: reconocer el tipo y acomodar la ecuación. Por qué: $y'+2y=y^{-3}$ tiene la forma de Bernoulli con $n=-3$ (el término de la derecha es $y^n$). Multiplicamos todo por $y^3=y^{-n}$ para que el lado derecho quede constante:

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Qué: cambio de variable. Por qué: con $z=y^{1-n}=y^4$ resulta $z'=4y^3y'$ (regla de la cadena), o sea $y^3y'=\tfrac{z'}{4}$. Reemplazando y multiplicando por $4$:

Es una EDO lineal de 1er orden en $z$.

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Qué: resolver la lineal con $z=u\cdot v$. Por qué: así se separa en dos ecuaciones simples. Con $z'=u'v+uv'$:

Se elige $v$ de modo que el paréntesis sea cero.

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Qué: hallar $v$. Por qué: $v'+8v=0$ es de variables separables (basta una solución, sin constante):

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Qué: hallar $u$. Por qué: queda $u'v=4$, o sea $u'e^{-8x}=4$, entonces $u'=4e^{8x}$ y se integra (el $\tfrac18$ compensa el $8$ de la regla de la cadena):

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Qué: volver a $y$. Por qué: $z=u\cdot v=y^4$. Distribuyendo $e^{-8x}$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

(equivale a $y^4=\big(\tfrac12e^{8x}+C\big)e^{-8x}$; despejar $y=\sqrt[4]{\cdot}$ es opcional.)

Ojo con: multiplicar por $y^{-n}=y^3$ (no por $y^{-3}$) y acordarse del factor $4$ de $z'=4y^3y'$ (de ahí sale el $8$ en $z'+8z=4$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: reconoce Bernoulli ($n=-3$), multiplica por $y^3$, sustituye $z=y^4$ y obtiene $z'+8z=4$, la resuelve con $u\cdot v$ ($v=e^{-8x}$, $u=\frac12e^{8x}+C$) y escribe $y^4=\frac12+Ce^{-8x}$, sin aplicar la fórmula general.
• A medias: plantea bien pero olvida el factor $4$ de $z'=4y^3y'$, o se equivoca en $u$ o $v$, o deja la solución en $z$.
• Mal: aplica la fórmula general (el enunciado pide el desarrollo paso a paso), o no reconoce el tipo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: sustituir en la EDO original. De $y^4=\tfrac12+Ce^{-8x}$, derivando implícitamente: $4y^3y'=-8Ce^{-8x}$, o sea $y'=-2Ce^{-8x}\,y^{-3}$. Entonces, con $2y=2y^4\,y^{-3}$:

que es el lado derecho.