2º Parcial Práctico — Comisión 2S2 (Tema B)

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Leé qué te piden: un volumen, y el cuerpo está descripto por un cilindro parabólico y dos planos. Preguntate: ¿qué forma tiene su “sombra” sobre el plano $xy$? ¿Qué plano lo cierra por arriba y cuál por abajo?

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Un cuerpo entre dos superficies sobre una base plana se resuelve como volumen con una integral doble: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. Como la base está limitada por una parábola (no por un círculo), conviene coordenadas rectangulares, como sugiere el enunciado. Machete: Volumen entre superficies.

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Planteo casi hecho: techo $z=y+2$, piso $z=1$ (altura $y+1$), $D:\ -1\le x\le1,\ 0\le y\le1-x^2$:

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Qué: dibujar el cuerpo. Por qué: para decidir qué plano es techo y cuál piso. El cilindro $y=1-x^2$ no depende de $z$: sus paredes son verticales. Como $y\ge0$, el plano $z=y+2$ vale al menos $2$, así que está siempre arriba de $z=1$.

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Qué: fijar la región $D$. Por qué: es la sombra del cuerpo sobre el plano $xy$. La parábola $y=1-x^2$ corta a $y=0$ en $x=\pm1$, y $y\ge0$ deja la parte de adentro: $-1\le x\le1$, $0\le y\le1-x^2$.

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Qué: calcular la altura. Por qué: es techo − piso: $(y+2)-1=y+1$. Entonces

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Qué: integrar en $y$. Por qué: es la integral interna, $x$ se trata como constante:

Desarrollando $(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4$:

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Qué: integrar en $x$. Por qué: queda una sola variable.

En $x=1$: $\tfrac32-\tfrac23+\tfrac1{10}=\tfrac{45-20+3}{30}=\tfrac{28}{30}$. La primitiva es impar, así que en $x=-1$ vale $-\tfrac{28}{30}$. Restando:

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Ojo con: la altura: es $(y+2)-1=y+1$, no $y+2$; y que los límites de $y$ dependen de $x$ (van de $0$ a $1-x^2$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico de $D$ y del cuerpo, altura $y+1$, límites $-1\le x\le1$, $0\le y\le1-x^2$ y $V=\frac{28}{15}$.
• A medias: planteo correcto con un error de cuenta (por ejemplo al desarrollar $(1-x^2)^2$ o al evaluar en $\pm1$).
• Mal: altura mal calculada, región $D$ sin justificar o límites de $y$ constantes.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: invertir el orden de integración. Para $y$ entre $0$ y $1$, $x$ va de $-\sqrt{1-y}$ a $\sqrt{1-y}$:

Con $w=1-y$ (entonces $y+1=2-w$ y $dy=-dw$, los límites se invierten y el signo se compensa):

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Mirá las expresiones: $x^2+y^2$ aparece en el cilindro, en la esfera y en el paraboloide, y el integrando es solo $z$. ¿Qué cuerpo queda dentro del cilindro, fuera de la esfera y bajo el paraboloide? ¿Quién es el piso y quién el techo?

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Como $x^2+y^2$ aparece siempre junto, conviene coordenadas cilíndricas: $x^2+y^2=r^2$, $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$. La esfera da el piso $z=\sqrt{4-r^2}$ y el paraboloide el techo $z=r^2+2$. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

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Planteo casi hecho: integrando $z\cdot r$; $0\le\theta\le2\pi$, $0\le r\le1$, $\sqrt{4-r^2}\le z\le r^2+2$:

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Qué: dibujar el cuerpo. Por qué: para identificar piso y techo. “Dentro del cilindro” da $r\le1$; $x^2+y^2+z^2\ge4$ pide estar fuera de la esfera de radio 2, o sea por encima de su casquete superior $z=\sqrt{4-r^2}$; $z\le r^2+2$ pide estar debajo del paraboloide. El techo está siempre arriba del piso: $(r^2+2)^2-(4-r^2)=r^4+5r^2\ge0$. Se tocan solo en el vértice $(0,0,2)$. Cómo reconocerlo: una esfera con "$\ge$" es un hueco que se saca, y el cuerpo es lo que queda entre ese casquete y el paraboloide.

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Qué: fijar los límites. Por qué: $r$ llega hasta el cilindro, $r\le1$, y es una vuelta completa, $0\le\theta\le2\pi$. En $z$: de la esfera ($\sqrt{4-r^2}$, que acá vale entre $\sqrt3$ y $2$) al paraboloide ($r^2+2$, entre $2$ y $3$).

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Qué: pasar a cilíndricas. Por qué: el integrando $z$ no cambia y el jacobiano agrega un $r$:

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Qué: integrar en $z$. Por qué: es la más interna. Al evaluar en el piso, $\big(\sqrt{4-r^2}\big)^2=4-r^2$ (la raíz desaparece):

Desarrollando $(r^2+2)^2=r^4+4r^2+4$ y restando $4-r^2$ (el $4$ se cancela, $-(-r^2)=+r^2$):

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Qué: integrar en $r$. Por qué: se multiplica por el $r$ del jacobiano:

Con denominador común $12$: $\tfrac16+\tfrac54=\tfrac{2+15}{12}=\tfrac{17}{12}$, entonces el resultado es $\tfrac{17}{24}$.

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda no depende de $\theta$, así que sale una vuelta completa:

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Ojo con: el jacobiano $r$, y que al elevar al cuadrado la raíz del piso queda $4-r^2$ (no hay que dejar la raíz).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico, cilíndricas con $z\cdot r$, límites $\sqrt{4-r^2}\le z\le r^2+2$, $0\le r\le1$, $0\le\theta\le2\pi$ y $\frac{17\pi}{12}$.
• A medias: planteo correcto pero errores de álgebra al desarrollar $(r^2+2)^2-(4-r^2)$ o al integrar en $r$.
• Mal: piso o techo mal identificados, sin jacobiano, o sin gráfico ni planteo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: integrar primero en $r$, con $z$ fijo. El cuerpo cumple $r\le1$, $r^2\ge4-z^2$ (fuera de la esfera) y $r^2\ge z-2$ (bajo el paraboloide). Para $\sqrt3\le z\le2$ manda la esfera: $\sqrt{4-z^2}\le r\le1$; para $2\le z\le3$ manda el paraboloide: $\sqrt{z-2}\le r\le1$. Con $\int_a^1r\,dr=\frac{1-a^2}{2}$:

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Fijate qué te piden: la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada formada por dos arcos de parábola, $C_1$ y $C_2$. Dibujá las dos curvas: ¿en qué puntos se cortan y qué región encierran? ¿Cuál queda arriba y cuál abajo, y por dónde hay que ir para que sea antihorario?

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Es una integral curvilínea que se resuelve por definición (parametrizar cada tramo con $x$ y sumar) y se verifica con el teorema de Green. Antes hay que hallar los cortes igualando las curvas y respetar el sentido antihorario. Machetes: Curvilínea por definición y Teorema de Green.

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Planteo casi hecho: los cortes son $(-2,0)$ y $(2,0)$; $C_2$ (abajo) va de $x=-2$ a $x=2$ y $C_1$ (arriba) de $x=2$ a $x=-2$. Con $P=x+y$, $Q=-(x+y)$: por definición $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$; por Green $IC=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$.

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Qué: dibujar y hallar los cortes. Por qué: para fijar los extremos de cada tramo. Igualando $-x^2+4=-\frac{x^2}{2}+2$:

Cortes: $(-2,0)$ y $(2,0)$. En $x=0$, $C_1$ vale $4$ y $C_2$ vale $2$: $C_1$ queda arriba.

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Qué: decidir el sentido de cada tramo. Por qué: antihorario deja la región $D$ siempre a la izquierda: abajo ($C_2$) se va de izquierda a derecha, $x$ de $-2$ a $2$; arriba ($C_1$) de derecha a izquierda, $x$ de $2$ a $-2$.

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Qué: calcular $I_1$ por definición ($C_1$). Por qué: se reemplaza la curva en $P\,dx+Q\,dy$. Con $y=-x^2+4$, $dy=-2x\,dx$ y $x+y=x-x^2+4$:

• $P\,dx=(x-x^2+4)\,dx$
• $Q\,dy=-(x-x^2+4)(-2x)\,dx=2x\,(x-x^2+4)\,dx$

Factor común: $(x-x^2+4)(1+2x)$. Multiplicando:

En $x=-2$: $-8-\tfrac83+18-8=-\tfrac23$. En $x=2$: $-8+\tfrac83+18+8=\tfrac{62}{3}$. Como $x$ va de $2$ a $-2$:

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Qué: calcular $I_2$ por definición ($C_2$). Por qué: igual, con $y=-\frac{x^2}{2}+2$, $dy=-x\,dx$ y $x+y=x-\frac{x^2}{2}+2$. Ahora $P\,dx+Q\,dy=(x+y)\,dx-(x+y)(-x\,dx)=(x+y)(1+x)\,dx$:

Integrando de $-2$ a $2$, los términos impares ($-\frac{x^3}{2}$ y $3x$) se cancelan por simetría y los pares se duplican:

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Qué: sumar los tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos:

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Qué (verificación con Green): Por qué: la curva es cerrada, simple, antihoraria y $P,Q$ son derivables. Acá $\tfrac{\partial Q}{\partial x}=-1$ y $\tfrac{\partial P}{\partial y}=1$, entonces el integrando es $-1-1=-2$ y la integral es $-2$ por el área de $D$:

En $x=2$: $4-\tfrac43=\tfrac83$; en $x=-2$: $-\tfrac83$. Restando, el área es $\tfrac{16}{3}$ y

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Ojo con: el sentido: $C_1$ se recorre de $x=2$ a $x=-2$; con los límites al revés el signo de $I_1$ cambia. El resultado negativo es correcto: $Q_x-P_y=-2<0$ en toda la región.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico con cortes y sentido, $I_1=-\frac{64}{3}$ e $I_2=\frac{32}{3}$ por definición, total $-\frac{32}{3}$, y verificación con Green que da lo mismo.
• A medias: un tramo bien y el otro con error de cuenta, o los dos bien pero sin la verificación con Green que pide el enunciado.
• Mal: sin gráfico ni límites, sentido horario sin advertirlo, o Green con $Q_x-P_y$ mal armado.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: el área de $D$ como diferencia de áreas bajo cada parábola, hasta el eje $x$:

(ya que $\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=16-\tfrac{16}{3}$ y $\int_{-2}^2(2-\tfrac{x^2}{2})\,dx=8-\tfrac83$). Con el integrando constante $-2$ de Green, $IC=-2\cdot\tfrac{16}{3}=-\tfrac{32}{3}$, igual a la suma $I_1+I_2$ por definición.

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Mirá la ecuación: ¿es lineal en $y$? El lado derecho tiene a $y$ elevada a una potencia. ¿Qué pasa si dividís todo por $x$ para dejar $y'$ sola con su coeficiente?

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Dividida por $x$ queda $y'+p(x)\,y=q(x)\,y^n$: una EDO de Bernoulli, con $n=-2$. Se la lleva a lineal con la sustitución $z=y^{1-n}$ y se resuelve con $z=u\cdot v$. Machete: EDO de Bernoulli.

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Planteo casi hecho: $y'-\dfrac1x\,y=x\,y^{-2}$. Multiplicando por $3y^2$ y con $z=y^3$ ($z'=3y^2y'$):

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Qué: llevar la ecuación a la forma de Bernoulli. Por qué: hay que dejar $y'$ con coeficiente 1. Dividiendo por $x$ (con $x\ne0$):

Cómo reconocerlo: es $y'+p\,y=q\,y^n$ con $p=-\frac1x$, $q=x$ y $n=-2$ (no es lineal porque $n\ne0,1$).

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Qué: multiplicar por $(1-n)\,y^{-n}=3y^2$. Por qué: así el término con $y'$ queda como la derivada de $y^{3}$ y el lado derecho pierde la potencia de $y$ ($y^{-2}\cdot y^2=1$):

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Qué: sustituir $z=y^3$. Por qué: $z'=3y^2y'$ (regla de la cadena), con lo cual la ecuación pasa a ser lineal en $z$:

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Qué: resolver la lineal con $z=u\cdot v$. Por qué: es el método de la cátedra. Con $z'=u'v+uv'$:

Se elige $v$ para que el paréntesis valga $0$:

(la constante de esta integración se toma $0$: basta una $v$ particular).

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Qué: hallar $u$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=3x$:

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Qué: volver a $y$. Por qué: $z=u\,v$ y $z=y^3$:

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Ojo con: el factor $(1-n)=3$ al multiplicar y el signo de $n$: con $n=-2$ la sustitución es $z=y^{1-(-2)}=y^3$, no $y^{-1}$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: reconoce Bernoulli con $n=-2$, sustituye $z=y^3$, obtiene la lineal $z'-\frac3xz=3x$, resuelve con $u\cdot v$ y devuelve la solución en $y$.
• A medias: reconoce la sustitución correcta pero se equivoca en $v$ o $u$, o deja la solución en $z$ sin volver a $y$.
• Mal: sustitución equivocada ($z=y^{-1}$, $z=y^{-2}$) o trata la ecuación como lineal en $y$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: reemplazar la solución en la ecuación lineal en $z$ y volver a la original. Con $z=Cx^3-3x^2$: $z'=3Cx^2-6x$ y

Y en la original: como $y=\dfrac{y^3}{y^2}=\dfrac{z}{y^2}$ y $3y^2y'=z'$,

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Contá qué aparece: $y''$ e $y'$ con coeficientes que son números (no hay término en $y$), y del lado derecho una exponencial y una constante. ¿Qué tipo de ecuación diferencial es y qué forma tiene su solución general?

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Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: se resuelve por coeficientes indeterminados, $y=y_h+y_p$. Primero $y_h$ con la ecuación característica; después se propone $y_p$ copiando el lado derecho, pero fijate si algún término ya es solución de la homogénea. Machete: EDO 2.º orden, coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: característica $r^2-2r=0$, $y_h=C_1+C_2e^{2x}$. Como $2$ y $0$ son raíces, los dos términos del lado derecho resuenan y llevan un $x$ de más (coeficientes $A$, $B$):

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Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución con lado derecho cero y siempre forma parte de la general. Se prueba $y=e^{rx}$ y se factoriza:

Reales y distintas:

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Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es $2e^{2x}+2$. Para $2e^{2x}$ correspondería $Ae^{2x}$, pero $2$ es raíz: hay resonancia y va $Axe^{2x}$. Para la constante $2$ correspondería una constante $B$, pero $0$ también es raíz (la constante ya está en $y_h$ como $C_1$): hay resonancia y va $Bx$. Cómo reconocerlo: una constante en el lado derecho resuena cuando $r=0$ es raíz, o sea cuando falta el término en $y$.

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Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la ecuación (regla del producto en $Axe^{2x}$).

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Qué: reemplazar en $y''-2y'$ y juntar términos semejantes. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación. Con $-2y_p'=-2Ae^{2x}-4Axe^{2x}-2B$:

• $e^{2x}$: $4A-2A=2A$
• $xe^{2x}$: $4A-4A=0$ (se cancela: resonancia)
• constante: $-2B$

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Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos funciones iguales tienen los mismos coeficientes en $e^{2x}$ y en la constante.

• $e^{2x}$: $2A=2\Rightarrow A=1$
• constante: $-2B=2\Rightarrow B=-1$

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Qué: armar la general. Por qué: $y=y_h+y_p$, con $C_1$ y $C_2$ libres porque no hay condiciones iniciales.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: las dos resonancias: proponer $Ae^{2x}+B$ lleva a $0=2e^{2x}+2$, sin solución; la constante también hay que multiplicarla por $x$ porque $0$ es raíz.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: $y_h$ correcta, reconoce las dos resonancias, propone $Axe^{2x}+Bx$, obtiene $A=1$, $B=-1$ y escribe la general.
• A medias: $y_h$ correcta y una sola resonancia detectada (por ejemplo $Axe^{2x}+B$), o un error de derivación con el resto bien.
• Mal: $y_h$ mal o $y_p$ sin $x$ en ningún término, o solo $y_p$ sin $y_h$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: reducción de orden. Con $w=y'$ la ecuación es lineal de 1.er orden, $w'-2w=2e^{2x}+2$, cuya solución general es $w=C_2'e^{2x}+2xe^{2x}-1$ (se verifica derivando: $w'-2w=2e^{2x}+2$). Integrando $y=\int w\,dx$ con $\int2xe^{2x}dx=xe^{2x}-\tfrac12e^{2x}$:

(la constante $\tfrac12C_2'-\tfrac12$ se renombra $C_2$). Es la misma familia.