ANÁLISIS MATEMÁTICO II2º parcial práctico

Volumen entre superficies (polares / cilíndricas)

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Para este práctico. Acá aprendés a calcular un volumen. No hace falta conocer una demostración: seguí las operaciones y después repetilas con la solución cerrada.

Cómo reconocerlo

Dice «calcular el volumen» y te da superficies que encierran un cuerpo. El resultado mide cuánto espacio ocupa ese cuerpo. Si aparece $x^2+y^2$ , probá polares o cilíndricas.

Pasos cortos

Despejá $z$ en cada superficie. Vas a buscar un piso y un techo.
Elegí un punto interior, por ejemplo el centro si pertenece a la base. Compará los valores: el mayor es el techo.
Igualá piso y techo. Eso muestra dónde se cierra el cuerpo.
Buscá el radio. En polares, reemplazá $x^2+y^2$ por $r^2$ ; $r$ es la distancia al eje vertical y nunca es negativo.
Escribí los ángulos. Vuelta completa: $0\le\theta\le2\pi$ . Primer cuadrante: $0\le\theta\le\pi/2$ . No uses la vuelta completa si hay restricciones.
Restá techo menos piso. Esa diferencia es la altura que vas a integrar.
Multiplicá por $r$ . Es el factor que acompaña al área en polares: $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ .
Integrá primero en $r$ . Durante esa cuenta, $\theta$ se trata como constante.
Evaluá arriba menos abajo. Reemplazá el límite superior en la primitiva y restale el inferior.
Integrá en $\theta$ y escribí unidades de volumen.

V=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}(z_{\rm techo}-z_{\rm piso})\,r\,dr\,d\theta

Si la consigna pide triple, el integrando para un volumen es $1$ : con el factor cilíndrico queda $r$ y se integra primero entre piso y techo.

Ejemplo del parcial del 31/10

Ejercicio 1: $x^2+y^2=5z$ y $z=5$ .

Despejá el paraboloide: $z=(x^2+y^2)/5=r^2/5$ .
En el centro $r=0$ , el paraboloide vale $0$ y el plano vale $5$ : piso $r^2/5$ , techo $5$ .
Igualá: $r^2/5=5$ .
Multiplicá por $5$ : $r^2=25$ . Como $r\ge0$ , el radio es $5$ .
La base es el disco entero: $0\le r\le5$ , $0\le\theta\le2\pi$ .
Armá la integral:

V=\int_0^{2\pi}\int_0^5\left(5-\frac{r^2}{5}\right)r\,dr\,d\theta.

Distribuí el factor: $(5-r^2/5)r=5r-r^3/5$ .
Integrá cada potencia: $\int r^n dr=r^{n+1}/(n+1)$ para $n\ne-1$ .

\int_0^5\left(5r-\frac{r^3}{5}\right)dr=\left[\frac{5r^2}{2}-\frac{r^4}{20}\right]_0^5=\frac{125}{2}-\frac{125}{4}=\frac{125}{4}.

Como no queda $\theta$ , integrar multiplica por el largo del intervalo: $2\pi$ .

\boxed{V=\frac{125\pi}{2}}

El mismo volumen con triple:

V=\int_0^{2\pi}\int_0^5\int_{r^2/5}^{5}r\,dz\,dr\,d\theta.

La integral en $z$ da $r(5-r^2/5)$ : vuelve a aparecer la cuenta anterior.

Si la base no es circular

Usá rectangulares: $V=\iint_D(\text{techo}-\text{piso})\,dx\,dy$ , sin $r$ . Por ejemplo, $y=1-x^2$ , $y\ge0$ da $-1\le x\le1$ , $0\le y\le1-x^2$ . Si $1\le z\le y+2$ , la altura es $y+1$ .

Si hay una esfera, escribí $z=\pm\sqrt{R^2-r^2}$ y elegí la tapa que corresponde al dibujo. Si techo y piso cambian de orden, separá la región antes de integrar.

Comprobá y evitá estos errores

El volumen debe ser positivo. En este ejemplo es menor que el cilindro de radio $5$ y altura $5$ : $125\pi$ .
El radio sale del corte de superficies: es $5$ , no $\sqrt5$ .
El factor $r$ aparece una vez por el cambio de coordenadas.
En una doble no agregues también límites de $z$ : la altura ya reemplaza esa integración.
Prueba sin mirar: escribí piso, techo, radio y ángulos antes de hacer cuentas. Si podés explicar de dónde sale cada límite, el planteo está encaminado.

En qué ejercicios oficiales aparece

Fuente

05-INTEGRALES MULTIPLES 2015, p. 22 (polares) y p. 35-36 (cilíndricas)
11_Integrales dobles_CC, p. 1; 12_Integrales triples_CC, p. 1-2
AM2 Resumen segundo parcial, p. 7-9 y 13
2026-10-31-1H10-A, p. 1 (enunciado aportado por Gabi; resolución elaborada para el sitio)