2º Parcial Práctico — Comisión 1R3

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Leé qué te piden y con qué: un volumen, y el sólido está descripto por un cilindro, una esfera y dos planos. Preguntate: ¿qué forma tiene la “sombra” del sólido sobre el plano $xy$, y qué superficie lo cierra por arriba y cuál por abajo?

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Un sólido con base circular, una superficie arriba y otra abajo se resuelve como volumen entre dos superficies con una integral doble en polares: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. Hay que identificar techo, piso y la región $D$. Machete: Volumen en polares/cilíndricas.

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Planteo casi hecho: techo $z=y+4$, piso $z=\sqrt{4-r^2}$ (la esfera con $z\ge0$), $D:\ 0\le r\le2,\ 0\le\theta\le2\pi$, $dA=r\,dr\,d\theta$, $y=r\sin\theta$:

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Qué: dibujar el sólido. Por qué: para decidir qué superficie es techo y cuál piso. Como $0\le z$, la condición $x^2+y^2+z^2\ge4$ pide $z\ge\sqrt{4-x^2-y^2}$: el sólido queda encima de la semiesfera, que es el “hueco” que hay que restar. Cómo reconocerlo: una esfera con "$\ge$" dentro de un cilindro de su mismo radio es un hueco semiesférico.

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Qué: fijar la región de integración $D$. Por qué: el cilindro $x^2+y^2\le4$ es la proyección del sólido sobre $xy$, o sea el círculo $r\le2$. La esfera no recorta más la base: tiene el mismo radio 2, y en $r=2$ el piso vale $\sqrt{4-4}=0$.

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Qué: plantear la integral doble. Por qué: el volumen entre dos superficies es la integral de (techo − piso) sobre $D$:

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Qué: pasar a polares. Por qué: la base es un círculo y $x^2+y^2$ pasa a ser $r^2$. Se reemplaza $y=r\sin\theta$ y $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ (el $r$ extra es el jacobiano). Distribuyendo el $r$:

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Qué: integrar en $r$, término por término. Por qué: la integral interna va primero y θ se trata como constante.

• $\int_0^2 r^2\sin\theta\,dr=\dfrac{8}{3}\sin\theta$
• $\int_0^2 4r\,dr=\big[2r^2\big]_0^2=8$
• $\int_0^2 r\sqrt{4-r^2}\,dr$: sustitución $t=4-r^2$, entonces $dt=-2r\,dr$, o sea $r\,dr=-\tfrac12dt$; para $r=0$ es $t=4$ y para $r=2$ es $t=0$. Queda $-\tfrac12\int_4^0\sqrt t\,dt=\tfrac12\int_0^4\sqrt t\,dt=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot4^{3/2}=\dfrac83$. (Con la primitiva: $-\tfrac13(4-r^2)^{3/2}$; ese signo ”−” de la primitiva se invierte porque en el integrando el término va restando, y por eso en el corchete del profe aparece $+\tfrac13(4-r^2)^{3/2}$.)

Juntando, con el signo menos del tercer término:

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: ya queda una sola variable. $\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=-\cos2\pi+\cos0=0$ (las mitades $y>0$ e $y<0$ se cancelan), y la constante se multiplica por la vuelta completa:

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Ojo con: olvidarse del jacobiano $r$ al pasar a polares, o restar mal el hueco (el piso es la semiesfera, no el plano $z=0$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico (cilindro, techo $z=y+4$ y piso en la semiesfera), integral $\int_0^{2\pi}\!\int_0^2\big(r\sin\theta+4-\sqrt{4-r^2}\big)\,r\,dr\,d\theta$ con jacobiano y $V=\frac{32\pi}{3}$.
• A medias: planteo correcto (techo − piso, polares, jacobiano) con un error de cuenta que cambia el resultado, por ejemplo en $\int r\sqrt{4-r^2}\,dr$.
• Mal: sin gráfico ni planteo, o toma el plano $z=0$ como piso (no resta el hueco de la esfera), o omite el jacobiano.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, sin integrar la semiesfera: el cilindro completo hasta el plano tiene volumen $\iint_D(y+4)\,dA=\iint_D y\,dA+4\cdot\text{Área}(D)=0+4\cdot4\pi=16\pi$ (el término en $y$ se anula por simetría). El hueco es media esfera de radio 2: $\tfrac12\cdot\tfrac43\pi\cdot2^3=\tfrac{16\pi}{3}$. Entonces $V=16\pi-\tfrac{16\pi}{3}=\tfrac{32\pi}{3}$.

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Mirá las expresiones del enunciado: ¿qué combinación de $x$ e $y$ se repite en el integrando y en las dos superficies? ¿Qué sólido forman dos paraboloides, uno abierto hacia arriba y otro hacia abajo?

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Como $x^2+y^2$ aparece siempre junto, conviene coordenadas cilíndricas: $x^2+y^2=r^2$, $dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz$. Hay que hallar dónde se cortan las superficies (igualando las $z$) para fijar los límites de $r$. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

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Planteo casi hecho: el integrando $\sqrt{x^2+y^2}=r$ por el jacobiano $r$ da $r^2$; $z$ va de $r^2-3$ a $5-r^2$; $0\le r\le2$:

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Qué: dibujar la región. Por qué: para saber cuál paraboloide es techo. $z=5-r^2$ abre hacia abajo (vértice en 5) y $z=r^2-3$ hacia arriba (vértice en −3): el primero es el techo. Cómo reconocerlo: dos paraboloides de ejes en $z$ con signos opuestos encierran una “lenteja”.

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Qué: hallar la intersección. Por qué: define hasta dónde llega la base en $r$ (la sombra del sólido sobre el plano $xy$). Igualamos las $z$:

Base: $0\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$.

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Qué: pasar el integrando y el elemento de volumen a cilíndricas. Por qué: $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=r$ (vale porque $r\ge0$), y el jacobiano agrega otro $r$, así que el integrando es $r\cdot r=r^2$:

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Qué: integrar en $z$. Por qué: es la integral más interna y da la altura del sólido a distancia $r$ del eje:

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Qué: integrar en $r$. Por qué: se multiplica por $r^2$ y se primitiva cada potencia:

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda no depende de $\theta$, así que sale una vuelta completa:

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Ojo con: el jacobiano: si te olvidás el $r$ extra el integrando queda $r$ y no $r^2$, y el resultado cambia.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico, cilíndricas con integrando $r\cdot r$ (el $r$ de la función y el del jacobiano), intersección $r=2$, límites $r^2-3\le z\le5-r^2$, $0\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$ y $IT=\frac{256\pi}{15}$.
• A medias: planteo y límites correctos pero un error de cuenta en la integral (por ejemplo al desarrollar $r^2(8-2r^2)$).
• Mal: sin gráfico ni planteo, intersección mal calculada, techo y piso invertidos o integrando sin el jacobiano.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: otro orden de integración, primero en $r$ con $z$ fijo. Para $-3\le z\le1$ el piso manda y $0\le r\le\sqrt{z+3}$; para $1\le z\le5$ manda el techo y $0\le r\le\sqrt{5-z}$. Como $\int_0^{R}r^2\,dr=\tfrac{R^3}{3}$:

(cada integral vale $\tfrac13\cdot\tfrac25\cdot4^{5/2}=\tfrac{64}{15}$).

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Fijate qué te piden: la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada que se arma con dos tramos, $C_1$ y $C_2$. Dibujá las dos curvas: ¿en qué puntos se cortan y qué región encierran?

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Es una integral curvilínea que se puede hacer de dos formas: por definición (parametrizando cada tramo, inciso a) y con el teorema de Green (inciso b). Antes hay que hallar los cortes (igualando las curvas) y respetar el sentido antihorario. Machetes: Curvilínea por definición y Teorema de Green.

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Planteo casi hecho: la parábola $C_2$ va de $x=-1$ a $x=1$ y el arco $C_1$ de $x=1$ a $x=-1$. Por definición $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$ con $P=x-y^2$, $Q=xy$. Por Green $IC=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$ con $x^2\le y\le\sqrt{2-x^2}$, $-1\le x\le1$.

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Qué: dibujar y hallar los cortes. Por qué: para fijar los extremos de cada tramo y el sentido. Igualando, $y=x^2$ en $x^2+y^2=2$ da $y+y^2=2$, o sea $y^2+y-2=(y+2)(y-1)=0$: $y=1$ ($y=-2$ se descarta, la parábola no es negativa), $x=\pm1$. Cortes: $(-1,1)$ y $(1,1)$.

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Qué: calcular $IC_1$ por definición. Por qué: se reemplaza la curva dentro de $P\,dx+Q\,dy$. Antihorario sobre el arco superior se va de derecha a izquierda, por eso $x$ va de $1$ a $-1$. Con $x$ como parámetro: $y=\sqrt{2-x^2}$, $dy=\dfrac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\,dx$.

• $P\,dx=\big(x-(2-x^2)\big)dx=(x-2+x^2)\,dx$
• $Q\,dy=x\sqrt{2-x^2}\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\,dx=-x^2\,dx$

Sumando se cancela $x^2$: $\ IC_1=\int_1^{-1}(x-2)\,dx=\Big[\dfrac{x^2}{2}-2x\Big]_1^{-1}=\dfrac52-\Big(-\dfrac32\Big)=4$

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Qué: calcular $IC_2$ por definición. Por qué: igual, ahora con $y=x^2$, $dy=2x\,dx$ y $x$ de $-1$ a $1$ (la parábola se recorre de izquierda a derecha).

• $P\,dx=(x-x^4)\,dx$
• $Q\,dy=x\cdot x^2\cdot2x\,dx=2x^4\,dx$

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Qué: sumar los tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos que la forman: $IC=4+\tfrac25=\tfrac{22}{5}$.

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Qué (inciso b): plantear y resolver con Green. Por qué: la curva es cerrada, simple, antihoraria y $P,Q$ son derivables, así que $\oint P\,dx+Q\,dy=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$. Acá $\tfrac{\partial Q}{\partial x}=y$ y $\tfrac{\partial P}{\partial y}=-2y$, entonces el integrando es $y-(-2y)=3y$:

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Ojo con: el sentido de recorrido: si ponés los límites de $C_1$ de $-1$ a $1$ el signo de ese tramo se invierte.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico con cortes $(-1,1)$ y $(1,1)$ y sentido antihorario, $IC_1=4$ ($x$ de $1$ a $-1$ por el arco superior), $IC_2=\frac25$ ($x$ de $-1$ a $1$ por la parábola), $IC=\frac{22}{5}$, y Green en cartesianas planteado con $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3y$ y límites $x^2\le y\le\sqrt{2-x^2}$, $-1\le x\le1$ (el enunciado no pide el número final).
• A medias: definición correcta con un error de cuenta en un tramo, o un tramo con el sentido invertido, o falta el planteo de Green.
• Mal: sin gráfico ni cortes, recorrido horario sin advertirlo, o aplica Green sin cerrar la curva.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente para $IC_1$: parametrización trigonométrica $x=\sqrt2\cos\theta$, $y=\sqrt2\sin\theta$, con $\theta$ de $\tfrac\pi4$ a $\tfrac{3\pi}4$ (antihorario). El integrando queda $-\sin2\theta+2\sqrt2\sin\theta$ y

que coincide con $IC_1$. Además, el resultado de Green ($\tfrac{22}{5}$, con $3y>0$ en $D$, o sea positivo como corresponde a una circulación antihoraria de un integrando positivo) es igual a la suma por definición $4+\tfrac25$: dos caminos distintos, mismo valor.

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Mirá cómo está escrita: aparecen $dx$ y $dy$ sumados e igualados a cero, con una función de $x$ e $y$ multiplicando a cada uno. ¿Podría ser el diferencial total de alguna función $u(x,y)$?

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Una ecuación $P\,dx+Q\,dy=0$ es exacta si $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$; hay que verificarlo primero. Si lo es, se busca $u$ con $u_x=P$, $u_y=Q$ y la solución es $u=C$. Machete: EDO exacta.

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Planteo casi hecho: $P=2x\cos(2y)-e^{3x}$, $Q=12y-2x^2\sin(2y)$. Integrá $P$ en $x$ y sumá $\varphi(y)$: $u=\int P\,dx+\varphi(y)$; después $\varphi'(y)=Q-\dfrac{\partial}{\partial y}\int P\,dx$.

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Qué: identificar $P$ y $Q$. Por qué: $P$ es lo que multiplica a $dx$ y $Q$ a $dy$: $P=2x\cos(2y)-e^{3x}$, $Q=12y-2x^2\sin(2y)$. Cómo reconocerlo: la ecuación viene con diferenciales, no con $y'$.

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Qué: verificar la condición de exactitud. Por qué: sin ella el método de $u$ no vale. Al derivar $\cos(2y)$ aparece el factor 2 de la regla de la cadena:

Son iguales: es exacta. (Si no lo fuera, se prueba un factor integrante: ver el machete.)

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Qué: integrar $P$ respecto de $x$. Por qué: $u_x=P$, así que $u$ es una primitiva de $P$ en $x$; lo que no depende de $x$ queda como una función $\varphi(y)$. En $x$ se tiene $\int2x\cos(2y)\,dx=x^2\cos(2y)$ ($\cos 2y$ es constante) y $\int e^{3x}dx=\tfrac13e^{3x}$ (el $\tfrac13$ compensa el $3$ de la regla de la cadena):

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Qué: hallar $\varphi(y)$. Por qué: $u$ también tiene que cumplir $u_y=Q$. Derivando respecto de $y$:

(La constante de integración de $\varphi$ se absorbe en la $C$ final.)

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Qué: escribir la solución. Por qué: una EDO exacta tiene como solución general (implícita) las curvas de nivel $u(x,y)=C$.

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Ojo con: el $\tfrac13$ al integrar $e^{3x}$ y el factor 2 al derivar $\cos(2y)$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: verifica la exactitud ($\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-4x\sin 2y$), integra $P$ en $x$ y suma $\varphi(y)$, obtiene $\varphi'(y)=12y$ y escribe $x^2\cos(2y)-\frac13e^{3x}+6y^2=C$.
• A medias: resuelve bien pero sin verificar la exactitud, o la verifica y se equivoca en el $\frac13$ de $\int e^{3x}dx$ o en el factor $2$ al derivar $\cos(2y)$.
• Mal: no reconoce el tipo, o no integra con la función $\varphi(y)$ (queda $u$ sin determinar).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: derivar la solución implícitamente respecto de $x$ (con $y=y(x)$):

Es justo $P+Q\,y'=0$, o sea la ecuación original dividida por $dx$.

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Contá qué aparece: $y''$, $y'$ con coeficientes que son números, y del lado derecho una exponencial y un coseno. ¿Qué tipo de ecuación diferencial es y qué forma tiene su solución general?

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Es una EDO lineal de 2º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: se resuelve por coeficientes indeterminados, $y=y_h+y_p$. Primero $y_h$ con la ecuación característica; después se propone $y_p$ copiando la forma del lado derecho. Machete: EDO 2º orden, coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: característica $r^2+2r=0$, $y_h=C_1+C_2e^{-2x}$. Para $y_p$ proponé (con coeficientes $A$, $B$, $D$, que no chocan con las constantes $C_1$, $C_2$):

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Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución con lado derecho cero y siempre forma parte de la general. Se prueba $y=e^{rx}$: $r^2+2r=0\Rightarrow r(r+2)=0$, entonces $r_1=0$, $r_2=-2$ (reales y distintas):

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Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es $16e^{2x}-4\cos(2x)$. Para $e^{2x}$ va $Ae^{2x}$; para $\cos(2x)$ van los dos, seno y coseno, porque al derivar uno aparece el otro. Hay que mirar que $2$ y $\pm2i$ no son raíces de la característica (que son $0$ y $-2$); por eso no se multiplica por $x$. Cómo reconocerlo: si el exponente o la frecuencia coincidieran con una raíz, habría resonancia y se multiplicaría por $x$.

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Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para poder reemplazar en la ecuación.

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Qué: reemplazar en $y''+2y'$, juntando términos semejantes. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación. Con $2y_p'=4Ae^{2x}+4B\cos(2x)-4D\sin(2x)$:

• $e^{2x}$: $4A+4A=8A$
• $\cos(2x)$: $-4D+4B$
• $\sin(2x)$: $-4B-4D$

Del lado derecho: $16$ en $e^{2x}$, $-4$ en $\cos(2x)$ y $0$ en $\sin(2x)$ (no tiene seno).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: igualar coeficientes y resolver. Por qué: dos funciones iguales tienen los mismos coeficientes en $e^{2x}$, $\cos2x$ y $\sin2x$.

• $e^{2x}$: $8A=16\Rightarrow A=2$.
• $\cos(2x)$: $4B-4D=-4$ (1)
• $\sin(2x)$: $-4B-4D=0$ (2)

Sumando (1) y (2) se va $B$: $-8D=-4\Rightarrow D=\tfrac12$. De (2): $B=-D=-\tfrac12$.

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Qué: armar la general. Por qué: $y=y_h+y_p$, con $C_1$ y $C_2$ libres porque no hay condiciones iniciales.

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Ojo con: proponer solo $D\cos(2x)$ porque el lado derecho solo tiene coseno: hace falta el seno también.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: $y_h=C_1+C_2e^{-2x}$, $y_p=Ae^{2x}+B\sin(2x)+D\cos(2x)$ (con seno y coseno aunque el lado derecho solo tenga coseno), $A=2$, $B=-\frac12$, $D=\frac12$ y $y=y_h+y_p$.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ correctas, pero un error de cuenta en las derivadas o en el sistema; o una solución general sin $y_h$.
• Mal: $y_h$ incorrecta, o $y_p$ con solo $D\cos(2x)$ (el sistema no tiene solución) sin darse cuenta.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

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Camino independiente: sustituir $y_p$ en la ecuación. Con $y_p=2e^{2x}-\tfrac12\sin2x+\tfrac12\cos2x$:

• $y_p'=4e^{2x}-\cos2x-\sin2x$
• $y_p''=8e^{2x}+2\sin2x-2\cos2x$
• $y_p''+2y_p'=(8+8)e^{2x}+(-2-2)\cos2x+(2-2)\sin2x=16e^{2x}-4\cos2x$

$y_h$ no aporta, porque $y_h''+2y_h'=0$.