EDO de 2.º orden no homogénea: coeficientes indeterminados

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Ejercicio 5 del 31/10. Dividí la tarea en dos: homogénea $y_h$ y particular $y_p$. La respuesta completa es la suma.

Cómo reconocerlo

$$ay''+by'+cy=f(x),\qquad a,b,c\text{ constantes},\quad a\ne0.$$

La consigna pide coeficientes indeterminados. $f(x)$ está formada por polinomios, exponenciales, senos, cosenos o combinaciones de ellos.

Pasos cortos

Si todavía no sabés encontrar la homogénea, abrí el machete de raíces y ecuación característica. Ahí se muestra qué escribir para cada tipo de raíz.

1. Copiá la ecuación y marcá $f(x)$, el segundo miembro.
2. Hallá $y_h$ con la ecuación característica.
3. Separá los sumandos de $f(x)$: por ejemplo, $2e^x$ y $1$.
4. Para cada sumando, elegí una propuesta de la tabla.
5. Compará con $y_h$: si la propuesta se repite allí, hay resonancia y hay que agregar factores $x$.
6. Escribí $y_p$ sumando las propuestas ya corregidas.
7. Derivá $y_p$ una vez, con regla del producto si hace falta.
8. Derivá otra vez para hallar $y_p''$.
9. Reemplazá las tres expresiones en el lado izquierdo original.
10. Agrupá los términos parecidos: exponenciales con exponenciales, constantes con constantes.
11. Igualá sus coeficientes con los del segundo miembro y despejá $A,B,\ldots$.
12. Reemplazá esos números en $y_p$ y escribí $y=y_h+y_p$.

Elegí la propuesta

Segundo miembro	Propuesta antes de revisar resonancia
Constante, por ejemplo $1$	$A$
Recta, por ejemplo $3x+2$	$Ax+B$
Polinomio de grado $n$	Polinomio completo de grado $n$
$ce^{\alpha x}$	$Ae^{\alpha x}$
Seno o coseno de $\beta x$	$A\cos\beta x+B\sin\beta x$; proponé los dos
Polinomio por $e^{\alpha x}$	Polinomio del mismo grado por $e^{\alpha x}$
Suma	Una propuesta por cada grupo y después sumarlas

Resonancia, en corto: si el exponente $\alpha$ es raíz simple de la característica, multiplicá ese grupo por $x$; si es raíz doble, por $x^2$. Para polinomios el exponente es $0$; para seno/coseno, revisá las raíces $\pm i\beta$. Modificá solo el grupo que coincide.

Si hay un polinomio de grado $n$ multiplicando seno/coseno, proponé dos polinomios completos de grado $n$, uno por coseno y otro por seno. Si también hay exponencial, multiplicá ambos por esa exponencial.

Ejemplo del parcial del 31/10

$$y''-2y'+y=2e^x+1.$$

1. Característica: $(k-1)^2=0$.
2. Homogénea: $y_h=(C_1+C_2x)e^x$.
3. Para $2e^x$, empezarías proponiendo $Ae^x$.
4. Pero $1$ es raíz doble: corregí a $Ax^2e^x$.
5. Para el $1$ constante, proponé $B$. No hay raíz $0$, así que no necesita un $x$ extra.
6. La propuesta conjunta es:

$$y_p=Ax^2e^x+B.$$

7. Primera derivada: derivá $x^2$ y también $e^x$:

$$y_p'=A(2x+x^2)e^x.$$

8. Segunda derivada: derivá el paréntesis y después la exponencial:

$$y_p''=A(2+4x+x^2)e^x.$$

9. Reemplazá:

$$y_p''-2y_p'+y_p=A\big[(2+4x+x^2)-2(2x+x^2)+x^2\big]e^x+B.$$

10. Cancelá $4x-4x=0$ y $x^2-2x^2+x^2=0$; queda $2Ae^x+B$.
11. Compará con $2e^x+1$: $2A=2$ y $B=1$, por lo tanto $A=1$, $B=1$.
12. Sumá homogénea y particular:

$$\boxed{y=(C_1+C_2x+x^2)e^x+1}.$$

Comprobá y evitá estos errores

• $y_p=x^2e^x+1$ debe producir $2e^x+1$, no cero, al sustituirla.
• $C_1,C_2$ son constantes libres de la solución general; $A,B$ se calculan y desaparecen de la respuesta.
• No multipliques también el $B$ por $x^2$: la resonancia afectaba solo al grupo exponencial.
• Proponer $Ae^x$ acá falla porque su lado izquierdo se anula. Por eso hacía falta $x^2$.
• Prueba sin mirar: escribí la propuesta correcta y sus dos derivadas antes de buscar $A$ y $B$.

En qué ejercicios oficiales aparece

• 1h10-2026-10-31-a#5
• 1r3-2025-11-14#5
• 1r7-2025-11-11#5
• 1v1-2025-11-13-a#5
• 1v1-2025-11-13-b#5
• 2s2-2025-11-07-a#5
• 2s2-2025-11-07-b#5
• 1h9-2026-06-27-a#4
• 1h9-2026-06-27-b#4
• recup-1h10-2025-11-08#5
• recup-2025-11-20#4

Fuente

• 09-ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR2015, p. 13-19
• 15_Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden, p. 2
• AM2 Resumen segundo parcial, p. 30-31
• 2026-10-31-1H10-A, p. 1 (enunciado aportado por Gabi; resolución elaborada para el sitio)