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Próximo objetivoSábado 7 de noviembrePráctico · 120 minutos

UTN FRC · Mazzuchelli
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II2º parcial práctico

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Integral triple en cilíndricas y esféricas

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Prioridad alta. Una integral triple se parece a un volumen, pero también hay una función que transformar. Primero aprendé cilíndricas; esféricas aparece en el recuperatorio del 20/11/2025.

Cómo reconocerlo

La consigna dice «integral triple de la función…». Separá dos cosas en tu hoja: qué integrar (la función) y dónde integrar (el cuerpo).

Pasos cortos en cilíndricas

  1. Anotá la función original f(x,y,z)f(x,y,z).
  2. Cambiá x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta y dejá zz igual.
  3. Usá x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 y x2+y2=r\sqrt{x^2+y^2}=r porque r≥0r\ge0.
  4. Reescribí también las superficies que encierran el cuerpo.
  5. Buscá el piso y techo de zz.
  6. Igualalos para obtener el radio exterior cuando corresponde.
  7. Fijá el intervalo angular según el cuerpo: una vuelta entera es 00 a 2π2\pi.
  8. Multiplicá la función transformada por otro rr, el jacobiano.
  9. Armá la triple con el orden elegido y sus diferenciales. Si usás dz dr dθdz\,dr\,d\theta, integrás primero en zz.
  10. Al integrar una variable, tratá las otras como constantes.
  11. Evaluá cada integral con superior menos inferior antes de pasar a la siguiente.
I=∫∫∫f(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z) r dz dr dθ.I=\int\int\int f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Ejemplo del parcial del 31/10

Ejercicio 2: función u=4x2+4y2u=\sqrt{4x^2+4y^2}; región limitada por z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 y z=2z=2.

  1. El plano z=2z=2 cierra el cono superior. La rama inferior del cono y ese plano solos no encierran otro cuerpo acotado.
  2. En la rama superior, z=rz=r. El piso es rr y el techo es 22.
  3. En el corte con el plano: r=2r=2. Entonces 0≤r≤20\le r\le2.
  4. Sin restricción de cuadrante: 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi.
  5. Transformá la función: u=4r2=2ru=\sqrt{4r^2}=2r.
  6. Agregá el jacobiano: u dVu\,dV aporta 2r⋅r=2r22r\cdot r=2r^2.
I=∫02π∫02∫r22r2 dz dr dθ.I=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_r^2 2r^2\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Primero zz: 2r22r^2 es constante respecto de zz.
∫r22r2 dz=[2r2z]r2=2r2(2−r).\int_r^2 2r^2\,dz=\left[2r^2z\right]_r^2=2r^2(2-r).
  1. Distribuí e integrá en rr:
∫02(4r2−2r3) dr=[4r33−r42]02=323−8=83.\int_0^2(4r^2-2r^3)\,dr=\left[\frac{4r^3}{3}-\frac{r^4}{2}\right]_0^2=\frac{32}{3}-8=\frac83.
  1. Integrá en θ\theta: 83⋅2π\frac83\cdot2\pi.
I=16π3\boxed{I=\frac{16\pi}{3}}

Si la consigna pide esféricas

Usá ρ\rho para la distancia al origen, para distinguirla del radio cilíndrico rr:

x=ρsin⁡φcos⁡θ,y=ρsin⁡φsin⁡θ,z=ρcos⁡φ.x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
  1. En una esfera de radio aa, ρ=a\rho=a.
  2. φ\varphi se mide desde el eje zz positivo; θ\theta gira en el plano xyxy.
  3. Cono superior z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}: φ=π/4\varphi=\pi/4.
  4. Dentro del cono superior: 0≤φ≤π/40\le\varphi\le\pi/4. Si el lado no está claro, declaralo y revisá el dibujo.
  5. Primer octante: 0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2 y 0≤φ≤π/20\le\varphi\le\pi/2, antes de agregar otras restricciones.
  6. Transformá la función y multiplicá por ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi.
  7. Entre esferas de radios 11 y 22, dentro del cono superior y en el primer octante, los límites son 1≤ρ≤21\le\rho\le2, 0≤φ≤π/40\le\varphi\le\pi/4, 0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2.

No intercambies los dos jacobianos: cilíndricas lleva rr; esféricas lleva ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi.

Comprobá y evitá estos errores

En qué ejercicios oficiales aparece

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