2º Parcial Práctico — Tu curso · 1H10 (Tema A)

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Despejá $z$ en la primera ecuación. Te queda el piso del sólido. El plano $z=5$ es el techo. Para un volumen por integral doble vas a sumar altura = techo − piso.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Donde aparece $x^2+y^2$, usá polares: $x^2+y^2=r^2$. La intersección con $z=5$ da $r^2=25$, entonces el disco llega hasta $r=5$. No te olvides del factor $r$ del elemento de área.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

1. Encontrá piso y techo. Dividí $x^2+y^2=5z$ por $5$:

En el centro $(x,y)=(0,0)$ el piso vale $0$, así que el techo está arriba. El sólido está entre ambos.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

2. Encontrá el borde. En el borde las superficies tienen la misma altura. Reemplazá $z=5$ en el paraboloide:

Es una circunferencia de radio $5$. Desde arriba, el sólido ocupa el disco completo $x^2+y^2\le25$.

← Deslizá el dibujo para verlo completo →

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

3. Pasá a polares. $r$ mide la distancia al centro; $\theta$ indica hacia dónde mirás. Para cubrir el disco completo:

Reemplazá $x^2+y^2$ por $r^2$. El elemento de área cambia a $dA=r\,dr\,d\theta$. Ese factor $r$ se escribe aunque el integrando no lo tenga.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

4. Escribí altura por área. La altura es $5-r^2/5$. Entonces:

Antes de seguir, comprobá: hay techo menos piso, un factor $r$ y límites para las dos variables.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

5. Integrá primero en $r$. Distribuí el factor $r$ y usá $\int r^n\,dr=r^{n+1}/(n+1)$:

Evaluar significa reemplazar primero por $5$ y restar lo que da en $0$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

6. Integrá en $\theta$. Ya no queda ninguna $\theta$ dentro del integrando; multiplicás la constante por el largo del intervalo:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Unidades de volumen. Si elegís integral triple, el planteo equivalente es:

Control antes de entregar: radio $5$; piso $r^2/5$; techo $5$; jacobiano $r$; resultado positivo. Un error típico es usar radio $25$: $25$ es el radio al cuadrado.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Otro orden de integración. A altura $z$, el corte horizontal es un disco con $r^2\le5z$: su área es $5\pi z$. Sumando esos cortes desde $z=0$ a $z=5$:

Coincide con el cálculo en polares. Verificado también por integración simbólica.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

El cuerpo acotado es el cono superior cerrado por el plano $z=2$. En cilíndricas el cono superior es $z=r$. La función a integrar no es $1$: tenés que transformar también la raíz.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Como $r\ge0$, $\sqrt{4x^2+4y^2}=\sqrt{4r^2}=2r$. Después multiplicás por otro $r$, el jacobiano. Queda $2r^2$, no $2r$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

1. Identificá el sólido cerrado. $z^2=x^2+y^2$ tiene dos hojas: una arriba y otra abajo. El plano $z=2$ cierra una región acotada con la hoja superior. Ahí $z\ge0$, por lo tanto $z=r$.

La hoja inferior no forma un sólido acotado con esa tapa. Esta elección explica qué región estamos integrando.

← Deslizá el dibujo para verlo completo →

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

2. Buscá el radio de la tapa. Poné $z=2$ en el cono:

El cuerpo da una vuelta completa: $\theta$ va de $0$ a $2\pi$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

3. Fijá el piso y el techo de $z$. Si elegís primero un punto de radio $r$, la columna empieza en el cono $z=r$ y termina en el plano $z=2$:

El límite inferior de $z$ depende de $r$: no es siempre $0$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

4. Transformá la función y el volumen por separado.

Al multiplicar: $u\,dV=2r^2\,dz\,dr\,d\theta$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

5. Escribí la triple completa. El orden de los diferenciales es el orden en que vas a calcular, desde adentro hacia afuera:

Primero $z$, después $r$, al final $\theta$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

6. Integrá en $z$. En este cálculo $r$ es una constante:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

7. Integrá las potencias de $r$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

8. Terminá con $\theta$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Control antes de entregar: función $2r$; jacobiano $r$; producto $2r^2$; cono como piso $z=r$; tapa $z=2$. Este ejercicio no pregunta el volumen: pide integrar la función dada sobre el cuerpo.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Invertí el orden. A altura fija $z$, el radio va desde $0$ hasta $z$:

Dos órdenes distintos dan el mismo resultado. Verificado simbólicamente.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

El campo tiene dos componentes: llamalas $P=x-y$ y $Q=x+y$. Por definición tenés que calcular $\int P\,dx+Q\,dy$ sobre cada tramo y sumar. Green viene después, como verificación.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Las curvas se cortan en $(-1,-1)$ y $(2,2)$. Para antihorario, subí por la recta y volvé por la parábola. Conviene parametrizar ambas usando $y=t$: así no necesitás despejar raíces.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

1. Aclaración de sentido. La foto dice «trayectoria cerrada» pero no especifica orientación. Para esta solución elegimos sentido antihorario y lo dejamos escrito. Si se recorre al revés, el resultado cambia de signo.

Esta elección es didáctica; no se agregó al enunciado oficial.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

2. Hallá los cortes. Como en la recta $x=y$, reemplazá $x$ por $y$ en la parábola:

Entonces $y=-1$ o $y=2$. Como $x=y$, los puntos son $A=(-1,-1)$ y $B=(2,2)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

3. Dibujá qué queda a cada lado. Para $-1\le y\le2$, la parábola $x=y^2-2$ es el borde izquierdo y la recta $x=y$ es el derecho. Por ejemplo, a altura $y=0$ van de $x=-2$ a $x=0$.

Para sentido antihorario, la región debe quedar a tu izquierda mientras avanzás: recta de $A$ a $B$, luego parábola de $B$ a $A$.

← Deslizá el dibujo para verlo completo →

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

4. Parametrizá la recta. Poné $x=t$, $y=t$, con $t$ de $-1$ a $2$. Derivá respecto de $t$:

Reemplazá también en el campo:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

5. Calculá el primer tramo.

Los factores $1$ vienen de $dx/dt=1$ y $dy/dt=1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

6. Parametrizá la parábola. Elegí $y=t$, $x=t^2-2$. Para volver de $B$ a $A$, $t$ va de $2$ a $-1$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

7. Armá y simplificá el segundo tramo. Multiplicá cada componente por su diferencial:

Distribuí y agrupá:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

8. Integrá respetando el regreso.

En $t=-1$ da $4/3$; en $t=2$ da $-14/3$. Restá en ese orden:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

9. Sumá y verificá con Green. Por definición:

Ahora derivá las componentes: $Q_x=1$ y $P_y=-1$. Green para sentido antihorario da:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

10. Integrá sobre la región. El borde izquierdo es $x=y^2-2$, el derecho $x=y$, y $-1\le y\le2$:

Coincide con el cálculo por tramos.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

En sentido horario: $I=-9$. La orientación no figura en la foto; hay que explicitar la elegida.

Control antes de entregar: dos tramos; cortes correctos; límites de regreso invertidos; $I_1=3$ e $I_2=6$; verificación de Green completa. Green por sí solo no reemplaza lo que pide «por definición».

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

La región tiene área $\int_{-1}^2[y-(y^2-2)]\,dy=9/2$. Como $Q_x-P_y=2$, la circulación antihoraria debe ser $2\cdot9/2=9$. El cálculo simbólico independiente reproduce ambos tramos y verifica que invertir los límites cambia el signo.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Hay dos términos con $y'$: sacalo como factor común. Después dividí toda la ecuación por $1+x^2$ para dejar el coeficiente de $y'$ igual a $1$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Queda $y'-\frac{2x}{1+x^2}y=2x$: es lineal. Para desarrollarla sin aplicar una fórmula final, usá $y=u\,v$ y derivá como producto: $y'=u'v+uv'$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

1. Juntá los términos con $y'$. $y'$ significa la derivada de $y$ respecto de $x$. Sacalo como factor común y pasá los términos sin $y$ al otro lado:

Del lado derecho también podés sacar factor común: $2x+2x^3=2x(1+x^2)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

2. Dividí todo por $1+x^2$. Siempre es positivo para $x$ real, así que no excluís ningún $x$:

Es lineal porque $y$ y $y'$ aparecen a la primera potencia, sin productos entre ellas. No hace falta adivinar una solución.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

3. Usá $y=u\,v$. $u$ y $v$ son dos funciones de $x$ que vamos a encontrar. Al derivar un producto:

Reemplazá esas dos expresiones en la ecuación:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

4. Agrupá los términos con $u$.

Elegimos $v$ para hacer cero el paréntesis. Así desaparece una parte de la cuenta:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

5. Encontrá una $v$ no nula. Despejá y separá:

Integrá. La derivada de $1+x^2$ es $2x$, por eso:

Nos alcanza una solución no nula: elegimos $v=1+x^2$. La constante general quedará después en $u$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

6. Volvé a la ecuación simplificada. El paréntesis del paso 4 ya vale cero, así que queda $u'v=2x$. Como $v=1+x^2$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

7. Integrá para hallar $u$. Es la misma integral del paso 5:

No aparece valor absoluto porque $1+x^2>0$ para todo $x$ real.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

8. Recuperá $y$. Al principio escribimos $y=u\,v$; ahora multiplicá las dos funciones encontradas:

La consigna pide solución general: como no hay condición inicial, $C$ queda libre.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Válida para todo $x\in\mathbb R$. Control antes de entregar: haber dividido por $1+x^2$ todos los términos; derivar $uv$ como producto; mostrar cómo se obtuvieron $u$ y $v$; incluir $C$.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Escribí $L=\ln(1+x^2)+C$ para hacer la cuenta más corta. Entonces $y=(1+x^2)L$ y:

En la ecuación agrupada:

Es exactamente el lado derecho. La sustitución simbólica en la ecuación original también da cero.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

La solución se arma con dos partes: la homogénea $y_h$ (resolvé poniendo cero a la derecha) y una particular $y_p$ (que produzca $2e^x+1$). Al final se suman: $y=y_h+y_p$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

La característica es $(m-1)^2=0$: raíz doble $m=1$. En la homogénea ya están $e^x$ y $xe^x$, por eso para la parte particular exponencial necesitás $Ax^2e^x$. Para el $1$ proponé una constante $B$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

1. Armá la ecuación característica. Primero resolvé $y''-2y'+y=0$. Con coeficientes constantes, reemplazá $y''$ por $m^2$, $y'$ por $m$ e $y$ por $1$:

La raíz es $m=1$ y aparece dos veces.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

2. Escribí la homogénea. Con raíz doble $m=1$, las dos funciones necesarias son $e^x$ y $xe^x$:

$C_1$ y $C_2$ son constantes libres. Hay dos porque la ecuación es de segundo orden.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

3. Proponé la particular. La derecha es una exponencial más una constante. Para $2e^x$ intentarías $Ae^x$, pero esa forma ya está en $y_h$. También $Axe^x$ está ahí. Subí una potencia más: $Ax^2e^x$.

Para el término $1$ proponé $B$. Juntando ambas partes:

$A$ y $B$ se calculan; no son las constantes libres de la solución general.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

4. Derivá una vez. Para $x^2e^x$ usá la regla del producto: derivada del primero por el segundo, más primero por derivada del segundo. La constante $B$ deriva a cero:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

5. Derivá otra vez. Ahora el producto es $(x^2+2x)e^x$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

6. Reemplazá en la izquierda. Conservá el signo menos y el factor $2$ del término del medio:

Agrupá lo que multiplica a $Ae^x$:

Los términos con $x^2$ y con $x$ se cancelan.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

7. Compará con la derecha. Necesitamos que $2Ae^x+B=2e^x+1$ para cualquier $x$:

Entonces $y_p=x^2e^x+1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

8. Sumá homogénea y particular.

Podés dejarla así o sacar factor $e^x$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Control antes de entregar: raíz doble; las dos constantes $C_1,C_2$; particular con $x^2e^x$ por resonancia; derivadas y sustitución; sumar la homogénea. Dejar solo $y_p$ no es la solución general.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Control de la particular $y_p=x^2e^x+1$:

Al sustituir, $y_p''-2y_p'+y_p=2e^x+1$. La homogénea produce cero, por eso agregarla conserva ese lado derecho. Verificado simbólicamente con $C_1$ y $C_2$ arbitrarias.