2º Parcial Práctico — Comisión 1H9 (Tema B)

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Fijate qué tiene el integrando y qué tiene la región: ¿qué combinación de $x$ e $y$ aparece en las dos cosas? ¿Qué cuerpo forma $z=x^2+y^2$ cortado entre $z=0$ y $z=3$: se parece a una “copa”, a un “tubo” o a una esfera?

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Como $x^2+y^2$ se repite, conviene coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $x^2+y^2=r^2$, $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. La superficie ya viene como $z=r^2$ (piso) y el plano $z=3$ es la tapa; hay que ver hasta dónde llega $r$. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

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Planteo casi hecho: el integrando $y\sqrt{x^2+y^2}$ se vuelve $r\sin\theta\cdot r$ y con el jacobiano queda $r^3\sin\theta$. $z$ va de $r^2$ hasta $3$, $r$ de $0$ a $\sqrt3$ y $\theta$ de $0$ a $2\pi$:

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Qué: dibujar la región. Por qué: para saber qué superficie es el piso y cuál el techo de $z$. $z=x^2+y^2$ es un paraboloide de eje $z$ (una “copa” con vértice en el origen); con $0\le z\le3$ queda la región dentro de la copa, tapada por el plano $z=3$. Cómo reconocerlo: $z=x^2+y^2$ (sin raíz) es paraboloide; con raíz o cuadrado en $z$ sería cono.

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Qué: pasar a cilíndricas. Por qué: la región es de revolución alrededor del eje $z$. Con $y=r\sin\theta$ y $r\ge0$ (por eso $\sqrt{r^2}=r$):

Se multiplica por el jacobiano $r$ (positivo): el integrando queda $r^3\sin\theta$.

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Qué: fijar los límites. Por qué: para cada $(r,\theta)$, $z$ va desde el paraboloide hasta la tapa: $r^2\le z\le3$. La tapa corta al paraboloide donde $3=r^2$, o sea $r=\sqrt3$ (se toma la raíz positiva), así que $0\le r\le\sqrt3$. Como el cuerpo da la vuelta entera, $0\le\theta\le2\pi$.

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Qué: integrar en $z$ (la más interna). Por qué: solo hay un $dz$:

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Qué: integrar en $r$. Por qué: se multiplica por $r^3$, se distribuye y se primitiva:

Resumido: $\int_0^{\sqrt3} r^3(3-r^2)\,dr=\frac{9}{4}$. (Con $(\sqrt3)^4=9$ y $(\sqrt3)^6=27$.)

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: es lo que queda y vale cero: el seno es positivo para $y>0$ y negativo para $y<0$, y como el cuerpo es simétrico se cancelan.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el $0$ viene de $\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0$, no de que la parte radial se anule: esa vale $\frac94\ne0$. Hay que mostrar el integrando $r^3\sin\theta$, los límites $r^2\le z\le3$ y la parte radial.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide “planteo y desarrollo consistente” y todos los cálculos auxiliares; el enunciado no exige gráfico):

• Bien: cilíndricas con integrando $r^3\sin\theta$ (jacobiano incluido), límites $0\le\theta\le2\pi$, $0\le r\le\sqrt3$, $r^2\le z\le3$, parte radial $\frac94$ y $IT=0$ justificado por $\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0$.
• A medias: planteo y límites correctos pero con un error de cuenta.
• Mal: límites de $z$ incorrectos (por ejemplo $0\le z\le3$ sin el paraboloide), integrando sin el jacobiano (aunque el resultado siga dando $0$ por simetría, el planteo está mal) o sin planteo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Dos caminos independientes. 1) Simetría: el integrando $y\sqrt{x^2+y^2}$ es impar en $y$ y la región es simétrica respecto del plano $y=0$, así que la integral vale $0$.

2) Otro orden (radial, que además verifica el $\frac94$): se integra primero en $r$ con $z$ fijo. Para cada $z$ entre $0$ y $3$, $r$ va de $0$ a $\sqrt z$:

Mismo número que la parte radial, y multiplicado por $\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0$ da $IT=0$.

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Fijate el verbo: te piden calcular por definición una integral sobre una curva cerrada formada por dos ecuaciones. Dibujá las dos curvas: ¿en qué puntos se cortan y cómo se ve la figura que encierran? ¿Qué sentido de recorrido te piden?

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Es una integral curvilínea de un campo vectorial y, como la curva cerrada se arma con dos tramos ($C_1$ y $C_2$), se calcula como $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$, parametrizando cada tramo y respetando el sentido antihorario ($+$). Primero hay que hallar los cortes igualando las curvas. Machete: Curvilínea por definición.

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Planteo casi hecho: los cortes son $(0,0)$ y $(2,2)$. $C_1$ ($y=x^2-x$) va de $x=0$ a $x=2$ con $dy=(2x-1)\,dx$; $C_2$ ($x=y^2-y$) va de $y=2$ a $y=0$ con $dx=(2y-1)\,dy$. El campo es $P=x-y$, $Q=x+y$:

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Qué: hallar los cortes y dibujar. Por qué: los cortes son los extremos de cada tramo. Reemplazo $y=x^2-x$ en la segunda ecuación $x=y^2-y$:

Entonces $x=0$ o $x=2$, y con $y=x^2-x$: $(0,0)$ y $(2,2)$ (los dos puntos también cumplen $x=y^2-y$). Cómo reconocerlo: una parábola “parada” ($y=\dots x^2$) y otra “acostada” ($x=\dots y^2$) con los mismos coeficientes son simétricas respecto de la recta $y=x$: por eso los cortes están sobre esa recta. Las curvas son las mismas que en el Tema A: solo cambia el campo.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar el sentido y los tramos. Por qué: $+$ es antihorario: caminando, la región $D$ debe quedar a la izquierda. Por la parábola $y=x^2-x$ (la de abajo), con $x$ creciendo de $0$ a $2$, $D$ queda arriba, a la izquierda: ese es $C_1$ de $(0,0)$ a $(2,2)$. Para cerrar, se vuelve por $x=y^2-y$ de $(2,2)$ a $(0,0)$: $C_2$ con $y$ decreciendo de $2$ a $0$.

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Qué: $IC_1$ por definición ($x$ de $0$ a $2$). Por qué: se reemplaza $y=x^2-x$ y $dy=(2x-1)\,dx$ en $P\,dx+Q\,dy$ con $P=x-y$, $Q=x+y$:

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Qué: $IC_2$ por definición ($y$ de $2$ a $0$). Por qué: ahora la variable es $y$: $x=y^2-y$ y $dx=(2y-1)\,dy$.

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Qué: sumar los dos tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el sentido de $C_2$ ($y$ de $2$ a $0$): al revés, el tramo cambia de signo y el total da $\frac{20}{3}+\frac43=8$ en lugar de $\frac{16}{3}$. Y no te asustes de que $IC_2$ dé negativo: es normal, el campo apunta “en contra” de ese tramo.

Criterio estimado — no oficial (el enunciado pide “por definición”; no exige gráfico, pero sin los cortes no se puede plantear):

• Bien: cortes $(0,0)$ y $(2,2)$, sentido antihorario con los dos tramos y sus límites ($C_1$: $x$ de $0$ a $2$; $C_2$: $y$ de $2$ a $0$), $IC_1=\frac{20}{3}$, $IC_2=-\frac43$ y $IC=\frac{16}{3}$.
• A medias: planteo correcto de los dos tramos con un error de cuenta; o un tramo con el sentido invertido.
• Mal: resolver solo por Green (no es “por definición”), sin cortes o con un solo tramo (curva sin cerrar).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: teorema de Green (curva cerrada, simple y antihoraria). Con $P=x-y$ y $Q=x+y$:

Entonces $IC=2\cdotA(D)$. El área sale de $A=\oint x\,dy$, tramo por tramo:

Mismo valor que por definición. (Coincide con el Tema A porque el rotor $Q_x-P_y$ vale $2$ en los dos campos y la región es la misma.)

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Mirá cómo están $y$ y $y'$ en la ecuación: ¿aparecen elevadas a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí? ¿Qué pasa con $y'$, $y$ y el resto: se puede ordenar como ”$y'$ más algo por $y$ igual a algo que solo depende de $x$”?

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Ordenada como $y'-3x^2y=6x^2$, es una EDO lineal de 1.er orden: $y'+P(x)\,y=Q(x)$ con $P=-3x^2$ y $Q=6x^2$. Se resuelve con la sustitución de la cátedra $y=u\cdot v$ (eligiendo $v$ para anular un paréntesis). Machete: EDO lineal.

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Planteo casi hecho: con $y=uv$ queda $u'v+u\,(v'-3x^2v)=6x^2$. Elegí $v$ tal que $v'-3x^2v=0$, y con ese $v$ resolvé $u'v=6x^2$:

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Qué: ordenar y reconocer el tipo. Por qué: hay que dejarla en la forma $y'+P\,y=Q$.

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen solo a la primera potencia y multiplicados por funciones de $x$: es lineal.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: sustituir $y=u\,v$. Por qué: al tener dos funciones incógnitas se gana libertad para elegir una (la $v$) y simplificar. Con $y=uv$ se deriva como producto, $y'=u'v+uv'$:

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Qué: elegir $v$ anulando el paréntesis. Por qué: si $v'-3x^2v=0$ la ecuación se reduce a $u'v=6x^2$. Esa $v$ es separable (basta una solución particular, tomo constante de integración $0$):

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Qué: resolver para $u$. Por qué: con $v=e^{x^3}$ queda $u'v=6x^2$:

Sustitución $t=-x^3$, entonces $dt=-3x^2\,dx$, o sea $6x^2\,dx=-2\,dt$:

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Qué: volver a $y=uv$. Por qué: esa es la incógnita.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el signo de la sustitución ($dt=-3x^2dx$ introduce el signo menos) y recordar $e^{-x^3}\cdot e^{x^3}=1$. Dejar $y=(-2e^{-x^3}+C)e^{x^3}$ también está bien, pero conviene simplificar.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente):

• Bien: reconoce la lineal, usa $y=uv$, $v=e^{x^3}$, $u=-2e^{-x^3}+C$ y escribe $y=(-2e^{-x^3}+C)\,e^{x^3}=-2+Ce^{x^3}$.
• A medias: plantea bien pero se equivoca en el signo o la constante de la integral de $u$, o no vuelve a $y=uv$.
• Mal: no reconoce el tipo, o no deriva $y=uv$ como producto.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Dos caminos independientes. 1) Variables separables: como $y'=3x^2(y+2)$ (de $y'-3x^2y-6x^2=0$ sacando factor $3x^2$):

Misma familia, con $C=\pm e^k$. Machete: Variables separables.

2) Sustituir en la EDO: con $y=-2+Ce^{x^3}$, $y'=3x^2Ce^{x^3}$:

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Antes de nada mirá qué te piden: la solución general de una EDO de 2.º orden con segundo miembro. ¿Es lineal? ¿Los coeficientes son constantes? ¿Qué forma tiene el segundo miembro ($-e^x+x-1$)? Pensá en cuántas partes tiene la solución general.

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Es una EDO lineal de 2.º orden de coeficientes constantes no homogénea: la solución general es $y=y_h+y_p$. $y_h$ sale de la ecuación característica $r^2-2r+1=0$ y $y_p$ por coeficientes indeterminados: una parte para $-e^x$ y otra para el polinomio $x-1$. Ojo con que $e^x$ ya aparece en $y_h$. Machete: Coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: raíz doble $r=1$, entonces $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$. Como $e^x$ y $xe^x$ ya están en $y_h$, la parte de $e^x$ se multiplica por $x^2$:

Derivá dos veces, reemplazá en la EDO e igualá coeficientes.

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Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución de $y''-2y'+y=0$ y sale de la ecuación característica (se prueba $y=e^{rx}$).

Con raíz doble, las dos soluciones independientes son $e^x$ y $x\,e^x$:

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Qué: proponer la forma de $y_p$. Por qué: el segundo miembro es $-e^x+x-1$, suma de dos tipos; cada uno aporta su forma. Para $x-1$ (polinomio de grado 1) se propone $Bx+D$; como $r=0$ no es raíz de la característica, no hay que corregir. Para $-e^x$ correspondería $Ae^x$, pero $e^x$ y $xe^x$ ya están en $y_h$ (resonancia, $r=1$ doble): se multiplica por $x^2$. Cómo reconocerlo: si lo que propondrías ya está en $y_h$, subí la potencia de $x$ hasta que deje de estarlo (acá hasta $x^2$, por ser raíz doble).

(uso $A$, $B$, $D$ para no chocar con $C_1$, $C_2$).

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Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la EDO. Para $Ax^2e^x$ se usa la regla del producto:

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Qué: reemplazar en $y''-2y'+y$. Por qué: $y_p$ tiene que satisfacer la EDO completa. Se agrupa lo que tiene $e^x$ y lo que no:

Parte con $e^x$:

(los términos en $x^2$ y en $x$ se cancelan: $A-2A+A=0$ y $4A-4A=0$). Parte sin $e^x$: $Bx-2B+D$. Entonces:

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Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos expresiones son iguales para todo $x$ solo si coinciden los coeficientes de $e^x$, de $x$ y el término independiente.

• $e^x$: $2A=-1$, entonces $A=-\frac12$.
• $x$: $B=1$.
• independiente: $-2B+D=-1$, entonces $D=-1+2B=1$.

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Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: la resonancia (si proponés $Ae^x$ o $Axe^x$ el término en $e^x$ se anula y no cierra) y los signos: el segundo miembro trae $-e^x$ y $-1$, así que $A$ y $D$ salen con el signo “dado vuelta” respecto del Tema A.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente):

• Bien: $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$ (raíz doble), $y_p$ con $x^2e^x$ por resonancia, $A=-\frac12$, $B=1$, $D=1$ y $y=y_h+y_p$.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ correctas, pero un error de cuenta en las derivadas o en los coeficientes; o una solución general sin $y_h$.
• Mal: $y_h$ incorrecta o $y_p$ sin corregir por resonancia (no se puede determinar $A$).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Dos controles independientes. 1) Cambio $y=e^xw$ para la parte con $e^x$: como $y'=e^x(w+w')$ e $y''=e^x(w+2w'+w'')$, queda $y''-2y'+y=e^x\,w''$. Para que sea $-e^x$ hace falta $w''=-1$, o sea $w=-\frac{x^2}{2}$ (más $C_1+C_2x$, que es $y_h$): $y=-\frac12x^2e^x$, que coincide con el término hallado.

2) Sustituir la parte polinomial $y=x+1$ (con $y'=1$, $y''=0$):

que es el $x-1$ del segundo miembro. Y $-\frac12x^2e^x$ da $-e^x$ (control 1), así que la suma da $-e^x+x-1$.