2º Parcial Práctico — Comisión 1R7

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Leé qué te piden: un volumen, y el sólido está encerrado entre dos superficies que tienen $x^2+y^2$ repetido. Preguntate: ¿qué forma tiene su “sombra” sobre el plano $xy$, y cuál superficie queda arriba y cuál abajo?

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Es un volumen entre dos superficies con una integral doble en polares: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. Hay que identificar techo y piso, y hallar $D$ igualando las dos $z$ (ahí se corta una circunferencia). Machete: Volumen en polares/cilíndricas.

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Planteo casi hecho: techo $z=6-r^2$, piso $z=r$ (el cono), $D:\ 0\le r\le2,\ 0\le\theta\le2\pi$, $dA=r\,dr\,d\theta$:

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Qué: dibujar el sólido. Por qué: para decidir cuál superficie es techo y cuál piso. $z=\sqrt{x^2+y^2}$ es un cono con vértice en el origen que abre hacia arriba, y $z=6-x^2-y^2$ es un paraboloide con vértice en $z=6$ que abre hacia abajo. El paraboloide queda arriba (en el eje, $6>0$) y el cono abajo. Cómo reconocerlo: $z=+\sqrt{\cdot}$ es un cono (la mitad de arriba) y $z=c-x^2-y^2$ una “cúpula”.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la intersección. Por qué: define hasta dónde llega la base (la sombra del sólido sobre $xy$). Igualamos las $z$ y usamos $\sqrt{x^2+y^2}=r$ (vale porque $r\ge0$):

$r=-3$ se descarta (un radio no es negativo), así que $r=2$, y entonces $z=2$. Base: $0\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$.

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Qué: plantear la integral doble en polares. Por qué: la base es un círculo. El volumen es la integral de (techo − piso), y el jacobiano agrega el factor $r$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$ (primero, con $\theta$ ausente). Por qué: cada término es una potencia. Primitiva:

Evaluando en $r=2$ (en $r=0$ todo vale 0), término por término:

• $3\cdot2^2=12$
• $\dfrac{2^4}{4}=4$
• $\dfrac{2^3}{3}=\dfrac83$

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda no depende de $\theta$, así que sale una vuelta completa:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: olvidarse del jacobiano $r$, o restar al revés (techo − piso, no piso − techo), y no descartar la raíz negativa $r=-3$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico (cono de piso, paraboloide de techo), intersección $r=2$ (descarta $r=-3$), integral $\int_0^{2\pi}\!\int_0^2(6-r^2-r)\,r\,dr\,d\theta$ con jacobiano y $V=\frac{32\pi}{3}$.
• A medias: planteo correcto (techo − piso, polares, jacobiano) con un error de cuenta que cambia el resultado.
• Mal: sin gráfico ni planteo, intersección mal (por ejemplo $r=3$), techo y piso invertidos o sin jacobiano.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, por rebanadas horizontales: a altura $z$ la sección es un círculo. Para $0\le z\le2$ la limita el cono ($r=z$), con área $\pi z^2$; para $2\le z\le6$ la limita el paraboloide ($r^2=6-z$), con área $\pi(6-z)$:

$V=\int_0^2\pi z^2\,dz+\int_2^6\pi(6-z)\,dz=\frac{8\pi}{3}+8\pi=\frac{32\pi}{3}$ (la segunda: $\int_2^6(6-z)\,dz=\big[6z-\tfrac{z^2}{2}\big]_2^6=18-10=8$).

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Mirá el enunciado: el integrando $x+y$ y las condiciones $x^2+y^2\le1$, $z\ge1-x^2$, $z\le2+y^2$. ¿Qué forma tiene la base? ¿Entre qué dos superficies queda $z$?

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Como aparece $x^2+y^2\le1$ y la base es un cuarto de círculo, conviene coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz$. $z$ va de una superficie a la otra, y el 1º cuadrante ($x,y\ge0$) fija el ángulo. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

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Planteo casi hecho: $0\le\theta\le\tfrac\pi2$, $0\le r\le1$, $1-r^2\cos^2\theta\le z\le2+r^2\sin^2\theta$, y el integrando es $(r\cos\theta+r\sin\theta)\cdot r$:

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Qué: dibujar la región. Por qué: para saber cuál superficie es techo y cuál piso. $z=1-x^2$ y $z=2+y^2$ son cilindros parabólicos (dependen de una sola variable). Como $2+y^2\ge2>1\ge1-x^2$ en la base, el techo es $2+y^2$ y el piso $1-x^2$.

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Qué: fijar la base. Por qué: $x^2+y^2\le1$ es el círculo unidad, y “1º cuadrante” pide $x\ge0$, $y\ge0$. En polares: $0\le r\le1$, $0\le\theta\le\tfrac\pi2$. (No hay que agregar más condiciones: con $x\le1$ se cumple $1-x^2\ge0$, así que la región queda sobre $z\ge0$ sola.)

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar el integrando, el elemento de volumen y los límites de $z$ a cilíndricas. Por qué: $x+y=r(\cos\theta+\sin\theta)$ y el jacobiano agrega un $r$, o sea el integrando es $r^2(\cos\theta+\sin\theta)$. Los límites: $z\ge1-x^2=1-r^2\cos^2\theta$ y $z\le2+y^2=2+r^2\sin^2\theta$.

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Qué: integrar en $z$. Por qué: es la integral más interna y da la altura a distancia $r$ del eje. Agrupamos y usamos $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$:

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Qué: integrar en $r$. Por qué: la altura no depende de $\theta$, así que el integrando separa en una parte en $r$ y otra en $\theta$:

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Qué: integrar en $\theta$. Por qué: queda $\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta=[\sin\theta-\cos\theta]_0^{\pi/2}=(1-0)-(0-1)=2$. Entonces:

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Ojo con: poner el jacobiano una sola vez en el integrando ($r$ del jacobiano por $r$ de $x+y$ da $r^2$), y no olvidar el $\sin^2+\cos^2=1$ al restar los límites de $z$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: cilíndricas con integrando $r^2(\cos\theta+\sin\theta)$, $0\le r\le1$, $0\le\theta\le\frac\pi2$ (1º cuadrante), $1-r^2\cos^2\theta\le z\le2+r^2\sin^2\theta$ (altura $1+r^2$) y $IT=\frac{16}{15}$.
• A medias: planteo y límites correctos pero un error de cuenta (por ejemplo al restar los límites de $z$ o en la integral de $r^2+r^4$).
• Mal: integrando sin el jacobiano o con un solo $r$ de más, $\theta$ de $0$ a $2\pi$ (ignora el 1º cuadrante) o límites de $z$ sin restar.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, en cartesianas y por simetría: la región y la altura $1+x^2+y^2$ no cambian si se intercambian $x$ e $y$, así que $\iiint x=\iiint y$ y $IT=2\iint_D x\,(1+x^2+y^2)\,dA$. Integrando primero en $y$ de $0$ a $\sqrt{1-x^2}$:

Con $u=1-x^2$ ($x\,dx=-\tfrac12du$, $1+x^2=2-u$): el primer término da $\tfrac12\int_0^1(2-u)\sqrt u\,du=\tfrac12\Big(\tfrac43-\tfrac25\Big)=\tfrac{7}{15}$ y el segundo $\tfrac16\cdot\tfrac25=\tfrac1{15}$. Suma $\tfrac{8}{15}$, y $IT=2\cdot\tfrac{8}{15}=\tfrac{16}{15}$.

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Fijate qué te piden: la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada formada por dos parábolas. Dibujalas: ¿en qué puntos se cortan y qué región encierran? ¿Hacia dónde se recorre cada tramo para ir en sentido antihorario?

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Es una integral curvilínea que se hace de dos formas: por definición (parametrizando cada tramo) y con el teorema de Green para verificar. Antes hay que hallar los cortes (igualando las curvas) y respetar el sentido antihorario. Machetes: Curvilínea por definición y Teorema de Green.

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Planteo casi hecho: $C_1$ (la de abajo, $y=x^2-1$) va de $x=-1$ a $x=1$ y $C_2$ (la de arriba) de $x=1$ a $x=-1$. Con $P=2x-y$ y $Q=2x+y$: $IC=\int_{C_1}P\,dx+Q\,dy+\int_{C_2}P\,dx+Q\,dy$. Por Green: $\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$ con $x^2-1\le y\le1-x^2$, $-1\le x\le1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar y hallar los cortes. Por qué: para fijar los extremos de cada tramo y el sentido. Igualando $x^2-1=1-x^2$ queda $2x^2=2$, o sea $x=\pm1$ con $y=0$. Cortes: $(-1,0)$ y $(1,0)$. En sentido antihorario la curva de abajo se recorre de izquierda a derecha y la de arriba de derecha a izquierda (la región queda siempre a la izquierda).

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Qué: calcular $IC_1$ por definición, sobre $y=x^2-1$ con $dy=2x\,dx$ y $x$ de $-1$ a $1$. Por qué: se reemplaza la curva dentro de $P\,dx+Q\,dy$.

• $P=2x-(x^2-1)=2x-x^2+1$
• $Q\,dy=(2x+x^2-1)\cdot2x\,dx=(4x^2+2x^3-2x)\,dx$

Sumando ($2x$ se cancela con $-2x$): $P\,dx+Q\,dy=(2x^3+3x^2+1)\,dx$.

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Qué: calcular $IC_2$ por definición, sobre $y=1-x^2$ con $dy=-2x\,dx$ y $x$ de $1$ a $-1$. Por qué: igual que antes, pero cambia el sentido.

• $P=2x-(1-x^2)=2x+x^2-1$
• $Q\,dy=(2x+1-x^2)\cdot(-2x)\,dx=(-4x^2-2x+2x^3)\,dx$

Sumando: $P\,dx+Q\,dy=(2x^3-3x^2-1)\,dx$ (el $2x$ también se cancela). Y como los límites van de $1$ a $-1$:

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Qué: sumar los tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos que la forman: $IC=IC_1+IC_2=4+4=8$.

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Qué (verificación con Green): aplicar el teorema. Por qué: la curva es cerrada, simple, antihoraria y $P,Q$ son derivables, entonces $\oint P\,dx+Q\,dy=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$. Acá $\tfrac{\partial Q}{\partial x}=2$ y $\tfrac{\partial P}{\partial y}=-1$, o sea el integrando es $2-(-1)=3$ (constante: es 3 veces el área de $D$):

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Ojo con: el sentido de recorrido: si ponés los límites de $C_2$ de $-1$ a $1$ ese tramo da $-4$ y la suma sale $0$, distinta de lo que da Green.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico con cortes $(-1,0)$ y $(1,0)$ y sentido antihorario, $IC_1=4$ (parábola $y=x^2-1$, $x$ de $-1$ a $1$), $IC_2=4$ (parábola $y=1-x^2$, $x$ de $1$ a $-1$), $IC=8$, y Green con $\iint3\,dA=8$.
• A medias: un solo método completo y correcto (definición o Green), o los dos planteados con un error de cuenta; o un tramo con el sentido invertido.
• Mal: sin gráfico ni límites, orientación horaria sin advertirlo, o aplica Green sin cerrar la curva.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, sin Green: descomponer $F\cdot dr=(2x\,dx+y\,dy)+(-y\,dx+2x\,dy)$. El primer paréntesis es el diferencial exacto de $x^2+\tfrac{y^2}{2}$, así que su integral sobre una curva cerrada es $0$. Para el segundo, directo en cada tramo:

• $\oint-y\,dx=-\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx-\int_{1}^{-1}(1-x^2)\,dx=\tfrac43+\tfrac43=\tfrac83$
• $\oint2x\,dy=\int_{-1}^{1}2x\cdot2x\,dx+\int_{1}^{-1}2x\cdot(-2x)\,dx=\tfrac83+\tfrac83=\tfrac{16}{3}$

Suma: $\tfrac83+\tfrac{16}{3}=8$, igual que por definición y por Green.

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Mirá cómo está escrita: aparecen $dx$ y $dy$ sumados e igualados a cero, con una función de $x$ e $y$ multiplicando a cada uno. ¿Podría ser el diferencial total de alguna función $u(x,y)$?

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Una ecuación $P\,dx+Q\,dy=0$ es exacta si $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$; hay que verificarlo primero. Si lo es, se busca $u$ con $u_x=P$, $u_y=Q$ y la solución es $u=C$. Machete: EDO exacta.

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Planteo casi hecho: $P=e^x+\ln y+\tfrac yx$, $Q=\tfrac xy+\ln x+\cos y$. Integrá $P$ en $x$ y sumá $\varphi(y)$: $u=\int P\,dx+\varphi(y)$; después $\varphi'(y)=Q-\dfrac{\partial}{\partial y}\int P\,dx$.

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Qué: identificar $P$ y $Q$. Por qué: $P$ es lo que multiplica a $dx$ y $Q$ a $dy$: $P=e^x+\ln y+\tfrac yx$, $Q=\tfrac xy+\ln x+\cos y$. Cómo reconocerlo: la ecuación viene con diferenciales, no con $y'$. Los logaritmos piden $x>0$, $y>0$.

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Qué: verificar la condición de exactitud. Por qué: sin ella el método de $u$ no vale. Derivando ($e^x$ no depende de $y$, $\cos y$ no depende de $x$):

Son iguales: es exacta.

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Qué: integrar $P$ respecto de $x$. Por qué: $u_x=P$, así que $u$ es una primitiva de $P$ en $x$; lo que no depende de $x$ queda como una función $\varphi(y)$. Con $y$ constante: $\int e^x\,dx=e^x$, $\int\ln y\,dx=x\ln y$ y $\int\tfrac yx\,dx=y\ln x$:

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Qué: hallar $\varphi(y)$. Por qué: $u$ también tiene que cumplir $u_y=Q$. Derivando respecto de $y$:

(La constante de integración de $\varphi$ se absorbe en la $C$ final.)

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Qué: escribir la solución. Por qué: una EDO exacta tiene como solución general (implícita) las curvas de nivel $u(x,y)=C$.

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Ojo con: al integrar $\tfrac yx$ en $x$ sale $y\ln x$ (no $\ln x$ solo), y con $\ln y$ constante en $x$ sale $x\ln y$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: verifica la exactitud ($\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac1y+\frac1x$), integra $P$ en $x$ ($e^x+x\ln y+y\ln x$), obtiene $\varphi'(y)=\cos y$ y escribe $e^x+x\ln y+y\ln x+\sin y=C$.
• A medias: resuelve bien pero sin verificar la exactitud, o se equivoca en una primitiva (por ejemplo $\int\frac yx\,dx=\ln x$ sin el $y$).
• Mal: no reconoce el tipo, o no determina $\varphi(y)$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: derivar la solución implícitamente respecto de $x$ (con $y=y(x)$):

Agrupando, es $\big(e^x+\ln y+\tfrac yx\big)+\big(\tfrac xy+\ln x+\cos y\big)y'=P+Q\,y'=0$, o sea la ecuación original dividida por $dx$.

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Contá qué aparece: $y''$ e $y'$ con coeficientes que son números, y del lado derecho un coseno y una constante. ¿Qué tipo de ecuación diferencial es y qué forma tiene su solución general?

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Es una EDO lineal de 2º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: se resuelve por coeficientes indeterminados, $y=y_h+y_p$. Primero $y_h$ con la ecuación característica; después se propone $y_p$ copiando la forma del lado derecho pero mirando si alguna parte choca con una raíz de la característica. Machete: EDO 2º orden, coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: característica $r^2+r=0$, $y_h=C_1+C_2e^{-x}$. La constante $1$ del lado derecho choca con la raíz $r=0$, por eso se multiplica por $x$. Proponé (con coeficientes $A$, $B$, $D$, que no chocan con $C_1$, $C_2$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución con lado derecho cero y siempre forma parte de la general. Se prueba $y=e^{rx}$: $r^2+r=0\Rightarrow r(r+1)=0$, entonces $r_1=0$, $r_2=-1$ (reales y distintas):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es $2\cos x+1$. Para $2\cos x$ van los dos, seno y coseno, porque al derivar uno aparece el otro; $\pm i$ no son raíces de la característica, así que no hay choque. Para la constante $1$ correspondería proponer una constante, pero $0$ es raíz de la característica (la constante ya es solución de la homogénea): hay resonancia y se multiplica por $x$, o sea $Dx$. Cómo reconocerlo: si el término propuesto ya aparece en $y_h$, se multiplica por $x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para poder reemplazar en la ecuación.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''+y'$, juntando términos semejantes. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación.

• $\cos x$: $-B+A$
• $\sin x$: $-A-B$
• constante: $D$

Del lado derecho: $2$ en $\cos x$, $0$ en $\sin x$ (no tiene seno) y $1$ de constante.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: igualar coeficientes y resolver. Por qué: dos funciones iguales tienen los mismos coeficientes en $\cos x$, $\sin x$ y en la constante.

• constante: $D=1$.
• $\cos x$: $A-B=2$ (1)
• $\sin x$: $A+B=0$ (2) (de $-A-B=0$)

Sumando (1) y (2) se va $B$: $2A=2\Rightarrow A=1$. De (2): $B=-A=-1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la general. Por qué: $y=y_h+y_p$, con $C_1$ y $C_2$ libres porque no hay condiciones iniciales.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: proponer una constante para el $1$ sin ver que $r=0$ es raíz: sin el $x$ el sistema no tiene solución (la constante queda en $-1\ne0$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: $y_h=C_1+C_2e^{-x}$, reconoce que $r=0$ es raíz y propone $y_p=A\sin x+B\cos x+Dx$, obtiene $A=1$, $B=-1$, $D=1$ y escribe la general.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ correctas pero un error de cuenta; o una solución general sin $y_h$.
• Mal: propone una constante para el $1$ (sin el factor $x$) y no advierte que el sistema no tiene solución, o $y_h$ incorrecta.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: sustituir $y_p$ en la ecuación. Con $y_p=\sin x-\cos x+x$:

• $y_p'=\cos x+\sin x+1$
• $y_p''=-\sin x+\cos x$
• $y_p''+y_p'=(-\sin x+\cos x)+(\cos x+\sin x+1)=2\cos x+1$

$y_h$ no aporta, porque $y_h''+y_h'=0$.