Recuperatorio 2º Parcial Práctico — Comisión 1H10

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Te piden un volumen. Fijate en las dos superficies: ¿qué figura es $z^2=x^2+y^2$ y qué la “tapa” en $z=3$? ¿Cuál queda abajo y cuál arriba? ¿Qué forma tiene la “sombra” del sólido sobre el plano $xy$?

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Volumen entre dos superficies (techo y piso), con una integral doble en polares: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. Hay que decidir techo, piso y la región $D$. Machete: Volumen en polares/cilíndricas.

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Planteo casi hecho: techo $z=3$, piso $z=\sqrt{x^2+y^2}=r$, $D:\ 0\le r\le3,\ 0\le\theta\le2\pi$ (el cono llega a $z=3$ cuando $r=3$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar el sólido. Por qué: para decidir qué es techo y qué es piso. $z^2=x^2+y^2$ es un cono con dos hojas (una para $z\ge0$ y otra para $z\le0$); el plano $z=3$ está arriba del vértice, así que el sólido limitado es el de la hoja superior $z=\sqrt{x^2+y^2}$, cerrada por la tapa $z=3$. Cómo reconocerlo: una ecuación $z^2=x^2+y^2$ sin otra cosa es un cono de eje $z$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la región $D$ (la “sombra” en el plano $xy$). Por qué: es donde el cono llega a la tapa: se reemplaza $z=3$ en el cono.

Es el círculo de radio $r=3$: $0\le r\le3$, $0\le\theta\le2\pi$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar el integrando (techo − piso). Por qué: el volumen entre dos superficies es la integral de la diferencia de alturas. Como $r\ge0$, $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=r$ (sin valor absoluto):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar a polares. Por qué: la base es un círculo. Se reemplaza $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ (el $r$ es el jacobiano, en valor absoluto y positivo porque $r\ge0$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$ (integral interna, $\theta$ no interviene).

En $r=3$ (en $r=0$ vale 0):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda es una constante por una vuelta completa.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: olvidarse del jacobiano $r$ (queda $\int(3-r)\,dr$, que no es un volumen), o tomar las dos hojas del cono.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares; del examen alcanza con resolver 2 ejercicios así):

• Bien: dibujo del cono con la tapa $z=3$ (techo y piso identificados), $D$ con $r\le3$, integral $\int_0^{2\pi}\!\int_0^3(3-r)\,r\,dr\,d\theta$ y $V=9\pi$.
• A medias: planteo correcto (techo − piso, polares, jacobiano) con un error de cuenta que cambia el resultado.
• Mal: sin planteo, o sin jacobiano, o resta mal las superficies (por ejemplo $r-3$) y no corrige el signo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente, por rebanadas horizontales: a la altura $z$ el sólido es un círculo de radio $z$ (porque $z=r$ sobre el cono), de área $\pi z^2$:

Coincide con la fórmula geométrica del cono: $\tfrac13\,\pi R^2h=\tfrac13\pi\cdot9\cdot3=9\pi$.

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Hay que integrar una función de tres variables sobre un cuerpo. Mirá la función ($z\sqrt{x^2+y^2}$) y las superficies: ¿hay alguna simetría respecto de un eje? ¿Qué aparece repetido en la función y en el paraboloide?

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Integral triple en cilíndricas (eje $z$): $x^2+y^2=r^2$, $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$. Hay que decidir los límites de $z$ (entre paraboloide y plano), de $r$ (la “sombra” en $xy$) y de $\theta$. Machete: Integral triple en cilíndricas y esféricas.

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Planteo casi hecho: $r^2\le z\le4$, $0\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$, integrando $z\,r$ y jacobiano $r$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar el cuerpo. Por qué: para saber qué es piso y qué es techo. $z=x^2+y^2$ es un paraboloide que abre hacia arriba (vértice en el origen); $z=4$ es un plano horizontal que lo corta. El cuerpo es el “vaso” entre los dos: arriba la tapa $z=4$, abajo el paraboloide.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la curva donde se cortan (condición de borde en $xy$). Por qué: define los límites de $r$.

Entonces $0\le r\le2$ y $0\le\theta\le2\pi$ (círculo completo).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar a cilíndricas. Por qué: el cuerpo tiene eje $z$. $\sqrt{x^2+y^2}=r$ (con $r\ge0$), $z$ queda igual y $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ (jacobiano $r$):

Los dos $r$ son uno de la función y otro del jacobiano: $r\cdot r=r^2$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $z$ (la más interna). Por qué: los límites en $z$ dependen de $r$.

(en el límite inferior, $(r^2)^2=r^4$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: multiplicar por $r^2$ y preparar la integral en $r$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$.

Evaluando en $r=2$ (en $0$ vale $0$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda es una constante por una vuelta completa.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: dividir por 2 de más al distribuir: $r^2\big(\tfrac{16}{2}-\tfrac{r^4}{2}\big)=8r^2-\tfrac{r^6}{2}$ (no $\tfrac12(8r^2-r^6)$). Ese es el error de cuenta que aparece en la resolución oficial (ver nota abajo).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares; del examen alcanza con resolver 2 ejercicios así):

• Bien: dibujo del paraboloide con la tapa, límites $r^2\le z\le4$, $0\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$, integrando $z\,r\cdot r$ (con jacobiano) y resultado $\tfrac{512\pi}{21}$.
• A medias: planteo completo y correcto (cilíndricas, límites, jacobiano) pero con un error de cuenta que cambia el valor final. Es el caso de la resolución oficial.
• Mal: sin jacobiano, o con límites de $z$ invertidos o de $r$ mal hallados.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: cambiar el orden de integración (primero $\theta$ y $r$, $z$ al final). Para cada altura $z\in[0,4]$ el cuerpo es el círculo $r\le\sqrt z$:

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Te piden dos cosas: la integral de línea del campo sobre una curva cerrada, y verificarla con otro método. Mirá las dos curvas: ¿qué son? ¿Dónde se cortan? ¿La curva cerrada se arma con un solo tramo o con más de uno?

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Dos tramos, cada uno como $y=f(x)$: se calcula por definición ($dy=f'(x)\,dx$, sustituyendo en $\int P\,dx+Q\,dy$) y se verifica con el teorema de Green ($\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$). Para el sentido antihorario, la región queda a la izquierda. Machetes: Integral curvilínea por definición y Teorema de Green.

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Puntos de corte $(0,0)$ y $(1,0)$. Antihorario: $C_1$ ($y=x^2-x$, abajo) de $x=0$ a $x=1$ y $C_2$ ($y=-2x^2+2x$, arriba) de $x=1$ a $x=0$:

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Qué: hallar los puntos de intersección. Por qué: son los extremos de cada tramo. Igualo las parábolas:

Ambas valen $0$ en esos $x$: los puntos son $(0,0)$ y $(1,0)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar y fijar el sentido. Por qué: el sentido antihorario (+) deja la región a la izquierda. $y=x^2-x$ abre hacia arriba (mínimo $-\tfrac14$ en $x=\tfrac12$) y $y=-2x^2+2x$ abre hacia abajo (máximo $\tfrac12$ en $x=\tfrac12$): la primera es el borde de abajo y la segunda el de arriba. Se recorre por abajo hacia la derecha ($C_1$, $x$ de $0$ a $1$) y vuelve por arriba hacia la izquierda ($C_2$, $x$ de $1$ a $0$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear la integral por definición. Por qué: $F=P\,i+Q\,j$ con $P=x-y$, $Q=x+y$, y en cada tramo $y$ es función de $x$:

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Qué: tramo $C_1$. Por qué: $y=x^2-x$, $dy=(2x-1)\,dx$, $x:0\to1$. Los factores:

Integrando (sin errores de signo al distribuir):

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Qué: tramo $C_2$. Por qué: $y=-2x^2+2x$, $dy=(-4x+2)\,dx$, y $x$ va de $1$ a $0$.

Producto $Q\,y'$ (por separado, para no perder términos):

Como el recorrido va de $1$ a $0$, se invierten los límites (cambia el signo):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: sumar los tramos.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: verificar con Green (lo pide la consigna). Por qué: la curva es cerrada, simple, antihoraria y $P,Q$ son polinomios. $\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1$ y $\dfrac{\partial P}{\partial y}=-1$:

$D$: $0\le x\le1$, $x^2-x\le y\le-2x^2+2x$. La altura de $D$ es:

Coincide con la definición.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

(por definición: $IC_1=\tfrac56$ y $IC_2=\tfrac16$; por Green: $2\cdot\text{Área}(D)=2\cdot\tfrac12=1$).

Ojo con: el sentido de recorrido: por abajo de izquierda a derecha y por arriba de derecha a izquierda; si se recorre $C_2$ de $0$ a $1$ da $-\tfrac16$ y el total sale mal. Y en $C_2$, distribuir bien el producto $(3x-2x^2)(-4x+2)$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares; del examen alcanza con resolver 2 ejercicios así):

• Bien: dibujo con puntos de corte y sentido (+), $IC_1=\tfrac56$, $IC_2=\tfrac16$ por definición, suma $1$ y verificación con Green ($\iint2\,dA=1$).
• A medias: definición correcta pero con un error de cuenta en un tramo, o solo hace una de las dos partes (definición o Green).
• Mal: sentido invertido sin advertirlo, no usa $dy=f'(x)\,dx$, o aplica Green sin $Q_x-P_y$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente (ni definición completa ni Green directo): se descompone el campo. $F=(x-y,\,x+y)$ es la suma de $(x,\,y)$ y $(-y,\,x)$.

• $(x,\,y)$ es conservativo (potencial $\tfrac{x^2+y^2}{2}$): su integral sobre una curva cerrada vale $0$.
• $(-y,\,x)$ da $\oint(-y\,dx+x\,dy)=2\cdot\text{Área}$. El área sale de $\oint x\,dy$ (también por definición): $\oint x\,dy=\int_0^1x(2x-1)\,dx+\int_1^0x(-4x+2)\,dx$.

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Mirá el signo de cada término y con qué variable aparece. ¿Se puede despejar y separar $x$ de $y$? ¿Los dos términos parecen salir de derivar parcialmente una misma función?

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Si $P\,dx+Q\,dy=0$ cumple $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$, es una EDO exacta: existe $u(x,y)$ con $u_x=P$, $u_y=Q$ y la solución es $u=C$. Se pide el desarrollo analítico (no la fórmula directa). Machete: EDO exacta.

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$P=x^2+y^2-\cos x$ y $Q=2xy+\sin y$. Integrar $P$ respecto de $x$ y sumar una función $\varphi(y)$; derivar en $y$ e igualar a $Q$ para hallar $\varphi'(y)$:

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Qué: identificar $P$ y $Q$. Por qué: la EDO ya viene escrita como $P\,dx+Q\,dy=0$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: verificar que es exacta. Por qué: es la condición para que exista la función potencial $u$.

Son iguales: es exacta.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar $u$ integrando $P$ en $x$ (con $y$ constante). Por qué: $u_x=P$; la “constante” de integración puede depender de $y$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $u$ respecto de $y$ e igualar a $Q$. Por qué: $u_y=Q$ determina $\varphi$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar $\varphi'$.

(la constante se absorbe en $C$ de la solución).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: escribir la solución general. Por qué: las soluciones son las curvas de nivel $u=C$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

(solución general en forma implícita).

Ojo con: el signo de $\varphi$: $\int\sin y\,dy=-\cos y$; y no olvidar $\varphi(y)$ (no una constante) al integrar respecto de $x$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares; del examen alcanza con resolver 2 ejercicios así):

• Bien: verifica la exactitud ($2y=2y$), integra $P$ con $\varphi(y)$, halla $\varphi'(y)=\sin y$, $\varphi=-\cos y$ y escribe $u=C$.
• A medias: hace el procedimiento bien pero se equivoca en un signo o en una primitiva (por ejemplo $+\cos y$).
• Mal: no verifica la exactitud, usa la fórmula directa (la consigna la prohíbe) o escribe una constante en lugar de $\varphi(y)$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: empezar por $Q$ (integrar en $y$) y llegar a lo mismo.

Queda $u=xy^2-\cos y+\dfrac{x^3}{3}-\sin x$: la misma función potencial.

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Es una EDO lineal de 2º orden con coeficientes constantes y término independiente. ¿Qué te da la parte sin el $2e^x$ (la homogénea)? Fijate si el término $2e^x$ ya “está” en esa solución.

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Coeficientes indeterminados: $y=y_h+y_p$. $y_h$ sale de la ecuación característica; $y_p$ se propone parecida al término independiente, pero si coincide con una solución de $y_h$ hay que multiplicar por $x$ tantas veces como la multiplicidad de la raíz. Machete: Coeficientes indeterminados.

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Raíz doble $r=1$, $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$. Como $e^x$ y $xe^x$ ya están en $y_h$, la propuesta es $y_p=A\,x^2e^x$. Derivar dos veces, reemplazar y comparar el coeficiente de $e^x$.

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Qué: hallar $y_h$. Por qué: es la solución de $y''-2y'+y=0$; se prueba $y=e^{rx}$ y queda la ecuación característica:

Raíz doble $r=1$, entonces:

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Qué: proponer $y_p$. Por qué: el término independiente es $2e^x$, que “pide” $Ae^x$; pero $e^x$ y $xe^x$ ya son solución de la homogénea (resonancia con raíz doble). Se multiplica por $x^2$ (multiplicidad 2):

Cómo reconocerlo: si la propuesta natural ya aparece en $y_h$, hay resonancia.

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Qué: derivar (regla del producto).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''-2y'+y$ y agrupar por tipo de término.

• Términos con $xe^x$: $4A-4A=0$.
• Términos con $x^2e^x$: $A-2A+A=0$.
• Queda solo $2Ae^x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: comparar coeficientes.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general ($y=y_h+y_p$).

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: proponer $Ae^x$ o $Axe^x$ (ya están en $y_h$; $y_p$ daría $0$ al reemplazar).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo consistente, con todos los cálculos auxiliares; del examen alcanza con resolver 2 ejercicios así):

• Bien: $r=1$ doble, $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$, $y_p=Ax^2e^x$ (con justificación), $A=1$ y $y=y_h+y_p$ completa.
• A medias: $y_h$ correcta y $y_p$ bien propuesta, pero un error de cuenta en las derivadas o en $A$; o la solución sin $y_h$.
• Mal: propone $y_p=Ae^x$ o $Axe^x$ (no corrige la resonancia).

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: variación de parámetros con $y_1=e^x$, $y_2=xe^x$. El wronskiano es

Es la misma $y_p$.