2º Parcial Práctico — Comisión 2S2 (Tema A)

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Leé qué te piden: un volumen, y el cuerpo está descripto por un cilindro y dos superficies con $z$. Preguntate: ¿qué forma tiene su “sombra” sobre el plano $xy$? ¿Qué superficie lo cierra por arriba y cuál por abajo?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Un cuerpo con base circular, una superficie arriba y otra abajo se resuelve como volumen entre dos superficies con una integral doble en polares: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. Hay que identificar techo, piso y la región $D$. Machete: Volumen en polares/cilíndricas.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: techo $z=8+r^2$, piso $z=4-r^2$, $D:\ 0\le r\le2,\ 0\le\theta\le2\pi$, $dA=r\,dr\,d\theta$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar el cuerpo. Por qué: para decidir cuál superficie es techo y cuál piso. $z\ge4-x^2-y^2$ pide estar encima del paraboloide que abre hacia abajo (vértice en $z=4$); $z\le8+x^2+y^2$ pide estar debajo del que abre hacia arriba (vértice en $z=8$). La resta $(8+r^2)-(4-r^2)=4+2r^2$ es siempre positiva, así que el techo nunca cruza al piso. Cómo reconocerlo: un cilindro que “encierra” dos paraboloides de ejes en $z$ es un cuerpo con base circular.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar la región $D$. Por qué: el cilindro $x^2+y^2\le4$ es la proyección del cuerpo sobre el plano $xy$: el círculo $r\le2$, o sea $0\le r\le2$ y $0\le\theta\le2\pi$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear la integral doble. Por qué: el volumen entre dos superficies es la integral de (techo − piso) sobre $D$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: simplificar el integrando. Por qué: conviene hacerlo antes de integrar. Al distribuir el signo menos sobre $(4-x^2-y^2)$ cambian todos los signos:

Juntando lo semejante ($8-4=4$ y $x^2+x^2=2x^2$, igual con $y$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar a polares. Por qué: la base es un círculo y $x^2+y^2=r^2$. Se reemplaza $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ (el $r$ extra es el jacobiano, siempre en valor absoluto y positivo porque $r\ge0$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$. Por qué: es la integral interna, $\theta$ no interviene.

Evaluando en $r=2$ (en $r=0$ vale 0):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $\theta$. Por qué: lo que queda es una constante, que se multiplica por una vuelta completa:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: olvidarse del jacobiano $r$ al pasar a polares, o distribuir mal el signo del piso ($-(4-r^2)=-4+r^2$, no $-4-r^2$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico con techo y piso identificados, integral $\iint(8+r^2-4+r^2)\,r\,dr\,d\theta$ con límites $0$–$2$ y $0$–$2\pi$, cuentas correctas y $V=32\pi$.
• A medias: planteo correcto (techo − piso, polares, jacobiano) pero con un error de cuenta que cambia el resultado final.
• Mal: sin gráfico ni planteo, o resta mal las superficies, o omite el jacobiano.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: volumen bajo el techo menos volumen bajo el piso, cada uno por separado (ambos son positivos sobre $D$, porque $4-r^2\ge0$ para $r\le2$).

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá qué se repite: $x^2+y^2$ aparece en el cilindro y en las dos superficies, y el integrando es $xz$. Además dice “1.er octante”. ¿Qué forma tiene el cuerpo que queda entre los dos paraboloides? ¿Qué te dice “octante” sobre los ángulos?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Como $x^2+y^2$ aparece siempre junto, conviene coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$. Hay que hallar dónde se cortan las superficies (igualando las $z$) y usar el octante para acotar $\theta$. Machete: Integral triple en cilíndricas/esféricas.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: integrando $xz\cdot r=r\cos\theta\cdot z\cdot r$; $0\le\theta\le\frac\pi2$, $0\le r\le2$, $r^2\le z\le8-r^2$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar el cuerpo. Por qué: para saber cuál paraboloide es techo. $z=8-r^2$ abre hacia abajo (vértice en 8) y $z=r^2$ hacia arriba (vértice en 0): el primero es el techo. Cómo reconocerlo: dos paraboloides de ejes en $z$ con signos opuestos encierran una “lenteja”; acá solo se usa la porción del primer octante.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la intersección. Por qué: define hasta dónde llega el cuerpo en $r$. Igualando las $z$:

Las superficies se cortan justo sobre el cilindro $r=2$: el cilindro del enunciado no recorta nada más, solo confirma el radio.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar los límites de $\theta$. Por qué: “1.er octante” significa $x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0$. Con $x=r\cos\theta\ge0$ y $y=r\sin\theta\ge0$ (y $r\ge0$) queda $0\le\theta\le\frac\pi2$. La condición $z\ge0$ ya se cumple porque $z\ge r^2\ge0$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar el integrando y el elemento de volumen. Por qué: $xz=r\cos\theta\cdot z$ y el jacobiano agrega un $r$, así que el integrando es $r^2\cos\theta\,z$. Como $\cos\theta$ solo depende de $\theta$ y $r^2$ de $r$, se separan los factores (los límites de $z$ dependen de $r$, por eso $z$ va adentro):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $z$. Por qué: es la más interna.

Desarrollando el cuadrado $(8-r^2)^2=64-16r^2+r^4$ y restando $r^4$ (se cancela):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $r$. Por qué: se multiplica por $r^2$ y se primitiva cada potencia:

En $r=2$: $\dfrac{32\cdot8}{3}=\dfrac{256}{3}$ y $\dfrac{8\cdot32}{5}=\dfrac{256}{5}$, entonces

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $\theta$. Por qué: queda el factor angular:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el jacobiano (el $r$ extra) y los límites de $\theta$: sin el octante habría que integrar $0\le\theta\le2\pi$ y $\int\cos\theta\,d\theta$ daría 0.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: cuerpo graficado, cilíndricas con $r^2\cos\theta\,z$, límites $0\le\theta\le\frac\pi2$, $0\le r\le2$, $r^2\le z\le8-r^2$ y resultado $\frac{512}{15}$.
• A medias: planteo y límites correctos pero un error de cuenta en la integral (por ejemplo al desarrollar $(8-r^2)^2$).
• Mal: límites de $\theta$ o de $z$ incorrectos, sin jacobiano, o sin planteo.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: otro orden, integrando primero en $r$ con $z$ fijo. Para $0\le z\le4$ manda el piso ($r^2\le z$), o sea $0\le r\le\sqrt z$; para $4\le z\le8$ manda el techo ($r^2\le8-z$), o sea $0\le r\le\sqrt{8-z}$. Con $\int_0^R r^2\,dr=\frac{R^3}{3}$ y el factor angular $1$:

(la primera vale $\frac13\cdot\frac27\cdot4^{7/2}=\frac{256}{21}$; en la segunda, con $w=8-z$, queda $\frac13\int_0^4(8-w)\,w^{3/2}\,dw=\frac{768}{35}$).

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Fijate qué te piden: la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada formada por dos tramos (la recta y la parábola). Dibujá las dos curvas: ¿en qué puntos se cortan y qué región encierran? ¿Por dónde hay que ir para que el recorrido sea antihorario?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es una integral curvilínea que se resuelve de dos formas: por definición (parametrizar cada tramo con $x$ y sumar, inciso a) y con el teorema de Green (inciso b). Antes hay que hallar los cortes igualando las curvas y respetar el sentido antihorario. Machetes: Curvilínea por definición y Teorema de Green.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: los cortes son $(-2,2)$ y $(1,-1)$; la parábola $C_2$ va de $x=-2$ a $x=1$ y la recta $C_1$ de $x=1$ a $x=-2$. Con $P=x-y$, $Q=x+y$: por definición $IC=\int_{C_1}+\int_{C_2}$; por Green $IC=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$ con $x^2-2\le y\le-x$, $-2\le x\le1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: dibujar y hallar los cortes. Por qué: para fijar los extremos de cada tramo. Igualando $x^2-2=-x$:

Con $y=-x$: los puntos son $(-2,2)$ y $(1,-1)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: decidir el sentido de cada tramo. Por qué: antihorario significa dejar la región $D$ siempre a la izquierda. En $x=0$ la recta vale $0$ y la parábola $-2$: la recta queda arriba. Abajo se va de izquierda a derecha (la parábola, $x$ de $-2$ a $1$) y arriba de derecha a izquierda (la recta, $x$ de $1$ a $-2$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular $IC_1$ por definición (recta). Por qué: se reemplaza la curva dentro de $P\,dx+Q\,dy$. Con $y=-x$, $dy=-dx$:

• $P\,dx=\big(x-(-x)\big)dx=2x\,dx$
• $Q\,dy=\big(x+(-x)\big)(-dx)=0$

Como el segundo término se anula y $x$ va de $1$ a $-2$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular $IC_2$ por definición (parábola). Por qué: igual, con $y=x^2-2$, $dy=2x\,dx$ y $x$ de $-2$ a $1$.

• $P\,dx=\big(x-(x^2-2)\big)dx=(-x^2+x+2)\,dx$
• $Q\,dy=\big(x+x^2-2\big)\,2x\,dx=(2x^3+2x^2-4x)\,dx$

Sumando y agrupando por potencias ($x^2$: $-1+2=1$; $x$: $1-4=-3$):

Se evalúa en el límite superior y en el inferior:

• En $x=1$: $\tfrac12-\tfrac32=-1$ y $-1+2=1$, así que $1+\tfrac13=\tfrac43$.
• En $x=-2$: $\tfrac{(-2)^4}{2}=8$, $\tfrac{(-2)^3}{3}=-\tfrac83$, $-\tfrac{3(-2)^2}{2}=-6$ y $2(-2)=-4$. Los enteros dan $8-6-4=-2$ y entonces $-2-\tfrac83=-\tfrac{14}{3}$.

Restando: $\tfrac43-\big(-\tfrac{14}{3}\big)=\tfrac{18}{3}=6$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: sumar los tramos. Por qué: la integral sobre la curva cerrada es la suma de los tramos que la forman: $IC=IC_1+IC_2=3+6=9$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (inciso b): aplicar Green. Por qué: la curva es cerrada, simple, antihoraria y $P,Q$ son derivables, así que $\oint P\,dx+Q\,dy=\iint_D\big(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\big)dx\,dy$. Acá $\tfrac{\partial Q}{\partial x}=1$ y $\tfrac{\partial P}{\partial y}=-1$, entonces el integrando es $1-(-1)=2$:

Se evalúa en el límite superior y en el inferior:

• En $x=1$: $-\tfrac12-\tfrac13+2=-\tfrac56+2=\tfrac76$.
• En $x=-2$: $-\tfrac{(-2)^2}{2}=-2$, $-\tfrac{(-2)^3}{3}=\tfrac83$ y $2(-2)=-4$. Los enteros dan $-2-4=-6$ y entonces $-6+\tfrac83=-\tfrac{10}{3}$.

Restando: $\tfrac76-\big(-\tfrac{10}{3}\big)=\tfrac76+\tfrac{20}{6}=\tfrac{27}{6}=\tfrac92$, y

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: el sentido de recorrido: si ponés los límites de $C_1$ de $-2$ a $1$ el signo de ese tramo se invierte y el total deja de coincidir con Green.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: gráfico con cortes y sentido, ambos tramos por definición ($IC_1=3$, $IC_2=6$, total $9$) y Green con $\iint2\,dA$ y los mismos $9$.
• A medias: un solo método completo y correcto (definición o Green), o los dos planteados con un error de cuenta; o un tramo con el sentido invertido.
• Mal: sin gráfico ni límites, orientación horaria sin advertirlo, o aplica Green sin cerrar la curva.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente para Green: como el integrando es $2$, $IC=2\cdot\text{Área}(D)$, y el área es $\int_{-2}^{1}(-x-x^2+2)\,dx$ (recta menos parábola). Se separa en dos integrales, con primitivas distintas a las del Paso:

• $\int_{-2}^{1}(2-x^2)\,dx=\Big[2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-2}^{1}=\Big(2-\tfrac13\Big)-\Big(-4+\tfrac83\Big)=\tfrac53-\Big(-\tfrac43\Big)=3$
• $\int_{-2}^{1}(-x)\,dx=\Big[-\tfrac{x^2}{2}\Big]_{-2}^{1}=-\tfrac12-(-2)=\tfrac32$

Eso verifica el lado de Green. Y la suma por definición, $IC_1+IC_2=3+6=9$, da el mismo número: dos caminos distintos, mismo resultado.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá cómo está escrita: aparecen $dx$ y $dy$ sumados e igualados a cero, cada uno multiplicado por una función de $x$ e $y$. ¿Qué relación hay entre lo que multiplica a $dx$ y lo que multiplica a $dy$ cuando derivás cada uno respecto de la otra variable?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Una ecuación $P\,dx+Q\,dy=0$ es exacta si $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$; hay que verificarlo primero. Si lo es, se busca $u$ con $u_x=P$, $u_y=Q$ y la solución es $u=C$. Machete: EDO exacta.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: $P=2x\sin(y)-y\sin(x)$, $Q=x^2\cos(y)+\cos(x)$. Integrá $P$ en $x$ y sumá $\varphi(y)$; después $\varphi'(y)=Q-\dfrac{\partial}{\partial y}\int P\,dx$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: identificar $P$ y $Q$. Por qué: $P$ es lo que multiplica a $dx$ y $Q$ lo que multiplica a $dy$. Cómo reconocerlo: la ecuación viene con diferenciales, no con $y'$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: verificar la condición de exactitud. Por qué: sin ella el método de $u$ no vale (si no se cumpliera, se probaría un factor integrante; ver el machete). Al derivar $-y\sin x$ respecto de $y$ queda $-\sin x$:

Son iguales: es exacta.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar $P$ respecto de $x$. Por qué: $u_x=P$, así que $u$ es una primitiva de $P$ en $x$; lo que no depende de $x$ queda como una función $\varphi(y)$. Con $y$ constante: $\int2x\sin(y)\,dx=x^2\sin(y)$ y $\int-y\sin(x)\,dx=y\cos(x)$ (la primitiva de $-\sin x$ es $\cos x$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar $\varphi(y)$. Por qué: $u$ también tiene que cumplir $u_y=Q$. Derivando respecto de $y$:

(la constante se absorbe en la $C$ final).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: escribir la solución. Por qué: una EDO exacta tiene como solución general (implícita) las curvas de nivel $u(x,y)=C$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: no olvidar verificar $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ antes de integrar (el enunciado pregunta “si es exacta”), y el signo de $\int-y\sin x\,dx=+y\cos x$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: verifica la exactitud con las dos derivadas parciales, obtiene $u$ con $\varphi'(y)=0$ y escribe $x^2\sin y+y\cos x=C$.
• A medias: resuelve bien pero sin verificar la exactitud, o la verifica y se equivoca en un signo de la primitiva.
• Mal: no verifica ni plantea $u_x=P$, $u_y=Q$, o da una solución que no cumple la ecuación.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente (dos controles). 1) Derivar la solución implícitamente respecto de $x$ con $y=y(x)$:

Agrupando: $\big(2x\sin y-y\sin x\big)+\big(x^2\cos y+\cos x\big)y'=P+Q\,y'=0$, la ecuación original dividida por $dx$.

2) Empezar al revés, integrando $Q$ en $y$: $\int Q\,dy=x^2\sin y+y\cos x+\psi(x)$, y al derivar en $x$ da $2x\sin y-y\sin x+\psi'(x)=P$, o sea $\psi'(x)=0$: la misma $u$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Contá qué aparece: $y''$, $y'$ e $y$ con coeficientes que son números, y del lado derecho una exponencial y un polinomio. ¿Qué tipo de ecuación diferencial es y qué forma tiene su solución general?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: se resuelve por coeficientes indeterminados, $y=y_h+y_p$. Primero $y_h$ con la ecuación característica; después se propone $y_p$ copiando la forma del lado derecho, ojo con las raíces de la característica. Machete: EDO 2.º orden, coeficientes indeterminados.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: característica $r^2-r-6=0$, $y_h=C_1e^{3x}+C_2e^{-2x}$. Como $3$ es raíz, el término $e^{3x}$ lleva un $x$ de más; para $6x+3$ va un polinomio de grado 1 (coeficientes $A$, $B$, $D$, que no chocan con $C_1$, $C_2$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ es la solución con lado derecho cero y siempre forma parte de la general. Se prueba $y=e^{rx}$ y queda la característica; por la fórmula de la cuadrática:

Raíces reales y distintas:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es $5e^{3x}+6x+3$. Para $e^{3x}$ correspondería $Ae^{3x}$, pero $3$ es raíz de la característica: $Ae^{3x}$ ya es solución de la homogénea y daría $0$. Hay resonancia y se multiplica por $x$: $Axe^{3x}$. Para $6x+3$ (polinomio de grado 1) va $Bx+D$; $0$ no es raíz, así que no hace falta otro $x$. Cómo reconocerlo: si el exponente del lado derecho coincide con una raíz, se multiplica por $x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para poder reemplazar en la ecuación (regla del producto en $Axe^{3x}$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''-y'-6y$ y juntar términos semejantes. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación.

• $e^{3x}$: $6A-A=5A$
• $xe^{3x}$: $9A-3A-6A=0$ (se cancela siempre: es la resonancia)
• $x$: $-6B$
• constante: $-B-6D$

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: igualar coeficientes y resolver. Por qué: dos funciones iguales tienen los mismos coeficientes en $e^{3x}$, $x$ y la constante.

• $e^{3x}$: $5A=5\Rightarrow A=1$
• $x$: $-6B=6\Rightarrow B=-1$
• constante: $-B-6D=3$; con $B=-1$ queda $1-6D=3$, entonces $-6D=2$ y $D=-\tfrac13$

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la general. Por qué: $y=y_h+y_p$, con $C_1$ y $C_2$ libres porque no hay condiciones iniciales.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Ojo con: la resonancia: proponer $Ae^{3x}$ sin el $x$ lleva a $0=5e^{3x}$, sin solución.

Criterio estimado — no oficial (la consigna pide planteo y desarrollo, con todos los cálculos auxiliares):

• Bien: $y_h$ correcta, reconoce la resonancia con $e^{3x}$, propone $Axe^{3x}+Bx+D$, obtiene $A=1$, $B=-1$, $D=-\frac13$ y escribe la general.
• A medias: $y_h$ y forma de $y_p$ correctas pero un error al derivar o al resolver el sistema; o no usa $x$ en la exponencial y se da cuenta tarde.
• Mal: $y_h$ mal (raíces) o $y_p$ sin forma justificada, o solo da $y_p$ sin $y_h$.

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: sustituir $y_p=xe^{3x}-x-\frac13$ en la ecuación.

• $y_p'=e^{3x}+3xe^{3x}-1$
• $y_p''=6e^{3x}+9xe^{3x}$
• $-6y_p=-6xe^{3x}+6x+2$

$y_h$ no aporta, porque $y_h''-y_h'-6y_h=0$ por construcción (raíces $3$ y $-2$).