Segundo parcial práctico — Examen X · Tema 1 (foto de clase)

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Te piden el área de una región dibujada: hay que leer el gráfico. Preguntate: ¿qué curvas la encierran y en qué puntos se cortan? ¿Cuál queda arriba y cuál abajo en cada tramo? ¿Cambia el piso a lo largo del eje $x$?

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El área de una región plana es la integral doble de 1 sobre ella: $A=\iint_D dA=\int\big(y_{\text{techo}}-y_{\text{piso}}\big)\,dx$. Hay que averiguar los datos que no están rotulados (centro y radio del círculo, raíces de la parábola) y partir la región en tramos si el piso o el techo cambian.

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Planteo casi hecho: parábola de raíces $-3$ y $1$, círculo $x^2+y^2=9$ (centro en el origen). Entre $x=0$ y $x=1$ el piso es la parábola; entre $x=1$ y $x=3$ el piso es el eje $x$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: estudiar la parábola $y=-x^2-2x+3$. Por qué: sus puntos clave aparecen en el borde de la región. Raíces (se cambia el signo para factorizar):

Corta al eje $x$ en $x=-3$ y $x=1$. Con $x=0$ vale $3$: pasa por $(0,3)$. El vértice está en $x=-1$ (punto medio de las raíces) con $y=-1+2+3=4$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar el círculo. Por qué: el gráfico no rotula centro ni radio. Lectura del gráfico (pendiente de revisión): el círculo está centrado en el origen (el eje $y$ pasa por su centro y corta al eje $x$ en puntos simétricos), y pasa por $(0,3)$ y por $(-3,0)$, que son puntos de la parábola. Con centro en el origen y $(0,3)$ en la curva, el radio es $3$:

La parábola en $x=1$ vale $0$, y el sector sombreado empieza en ese punto sobre el eje $x$; el círculo corta al eje $x$ en $(3,0)$. En el dibujo, el borde izquierdo de la región es la rama derecha de la parábola, que baja desde $(0,3)$ hasta $(1,0)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: describir la región por tramos. Por qué: el techo es siempre el círculo $y=\sqrt{9-x^2}$ (semicírculo superior). El piso cambia: para $0\le x\le1$ la parábola está por encima del eje $x$ ($y\ge0$) y es el borde inferior; para $1\le x\le3$ la parábola ya es negativa y el piso es el eje $x$ ($y=0$). Cómo reconocerlo: el piso cambia donde la parábola corta al eje $x$, o sea en $x=1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear el área. Por qué: es la integral de (techo − piso) en cada tramo:

Las dos integrales de $\sqrt{9-x^2}$ se pueden juntar en una sola de $0$ a $3$, y lo que queda restando es el área bajo la parábola entre $0$ y $1$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular $\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,dx$. Por qué: es un cuarto del área del círculo de radio $3$, y se confirma con la sustitución $x=3\sin t$ ($dx=3\cos t\,dt$, $t$ de $0$ a $\frac\pi2$, donde $\cos t\ge0$ y entonces $\sqrt{9-9\sin^2t}=3\cos t$):

Evaluando: en $t=\frac\pi2$ vale $\frac\pi4+0$ y en $t=0$ vale $0$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular el área bajo la parábola entre $0$ y $1$. Por qué: es la parte del cuarto de círculo que no está sombreada.

Evaluando en $x=1$ (en $0$ vale 0): $-\frac13-1+3=\frac53$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: restar. Por qué: $A=\frac{9\pi}{4}-\frac53\approx7{,}07-1{,}67$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: tomar la parábola como piso en todo $[0,3]$ (pasado $x=1$ da negativa y restaría de más), y olvidar que el radio no está dado: sale de que el círculo pasa por $(0,3)$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto; se supone que piden planteo y todas las cuentas):

• Bien: raíces de la parábola, círculo $x^2+y^2=9$, región en dos tramos con límites $0$–$1$ y $1$–$3$, cuentas correctas y $A=\frac{9\pi}4-\frac53$.
• A medias: planteo bien pero un error de cuenta (por ejemplo en $\frac53$), o parábola como piso en todo el intervalo sin darse cuenta del cambio.
• Mal: sin planteo, o círculo y parábola mal identificados (otro centro o radio sin justificar).

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: integrar en el otro orden, con $x$ en función de $y$ ($0\le y\le3$). La rama derecha de la parábola sale de $y=4-(x+1)^2$, o sea $x=-1+\sqrt{4-y}$ (en $x\ge0$). El círculo, a la derecha: $x=\sqrt{9-y^2}$.

• $\int_0^3\sqrt{9-y^2}\,dy=\frac{9\pi}{4}$ (el mismo cuarto de círculo).
• $\int_0^31\,dy=3$.
• $\int_0^3\sqrt{4-y}\,dy=\Big[-\tfrac23(4-y)^{3/2}\Big]_0^3=-\tfrac23+\tfrac{16}{3}=\tfrac{14}{3}$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá cómo están escritas. En la a) aparecen $dx$ y $dy$, cada uno multiplicado por una función de $x$ e $y$. En la b) aparece $y'$ con $y$ multiplicada por una función de $x$. ¿Qué forma tiene cada una?

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La a), una vez ordenada como $M\,dx+N\,dy=0$, se comprueba si es exacta: $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$; si lo es, se busca $F$ con $F_x=M$, $F_y=N$ y la solución es $F=C$. Machete: EDO exacta. La b) es lineal de primer orden: $y'+P(x)y=Q(x)$, con $y=u\cdot v$. Machete: EDO lineal.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho. a) $M=4xy^3+3y^2+1$, $N=6x^2y^2+6xy$; $F=\int M\,dx+g(y)$. b) $y'-\tan x\cdot y=\sin x$, con $P=-\tan x$; se busca $v$ con $v'=\tan x\cdot v$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): ordenar la ecuación como $M\,dx+N\,dy=0$. Por qué: la ecuación viene “dividida”: $1=-\frac{M\,dx}{N\,dy}$. Multiplicando por $N\,dy$:

con

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): verificar si es exacta. Por qué: sin $M_y=N_x$ el método de $F$ no vale. Derivando ($y$ constante en $N_x$, $x$ constante en $M_y$):

Son iguales: es exacta.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): integrar $M$ respecto de $x$. Por qué: $F_x=M$, y lo que no depende de $x$ queda como una función $g(y)$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): hallar $g(y)$ y usar $y(1)=1$. Por qué: $F$ también debe cumplir $F_y=N$. Derivando en $y$:

Entonces $g$ es constante (se absorbe en $C$) y la solución es $2x^2y^3+3xy^2+x=C$. Reemplazando $x=1$, $y=1$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): pasar a forma lineal. Por qué: hay que ver $P$ y $Q$. Pasando $y\tan x$ a la izquierda:

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): $y=u\cdot v$ y elegir $v$. Por qué: con $y'=u'v+uv'$ la ecuación queda $u'v+u\,(v'-\tan x\cdot v)=\sin x$, y se elige $v$ para que el paréntesis sea cero: $v'=\tan x\cdot v$. Separando variables:

Sin constante, $v=\dfrac1{\cos x}$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): hallar $u$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=\sin x$, o sea $u'\cdot\frac1{\cos x}=\sin x$:

(sustituyendo $w=\sin x$, $dw=\cos x\,dx$). Entonces $y=uv$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

a) $2x^2y^3+3xy^2+x=6$

b) $y=\frac{\dfrac{\sin^2x}{2}+C}{\cos x}$

Ojo con: en la a) verificar $M_y=N_x$ antes de integrar (la ecuación viene escrita al revés y es fácil perder el signo "$-$" al ordenarla); en la b) el signo de $P=-\tan x$ y que $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: a) ordena como $M\,dx+N\,dy=0$, verifica exactitud, obtiene $F$ con $g'=0$ y $C=6$; b) forma lineal, $v=\frac1{\cos x}$, $u=\frac{\sin^2x}{2}+C$ y la solución general.
• A medias: método correcto pero sin verificar la exactitud, o un error de signo en $\int\tan x\,dx$, o la a) sin aplicar la condición.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o da una función que no cumple la ecuación.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

a) Derivar la solución implícitamente respecto de $x$ con $y=y(x)$:

Agrupando:

que es la ecuación original. Segundo control, empezando por $N$ en $y$: $\int N\,dy=2x^2y^3+3xy^2+h(x)$ y $F_x=4xy^3+3y^2+h'(x)=M$ da $h'=1$, $h=x$: la misma $F$. En $(1,1)$: $2+3+1=6$.

b) Sustituir en la ecuación. Con $y=\dfrac{\sin^2x}{2\cos x}+\dfrac{C}{\cos x}$:

Restando, $y'-y\tan x=\sin x$.

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Mirá la ecuación: $y''$, $y'$ e $y$ con coeficientes numéricos, y del lado derecho una función que no es polinomio ni exponencial pura. ¿Qué tipo de ecuación es? ¿Qué función aparece del lado derecho?

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Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, pero $\frac{e^{-x}}{x}$ no tiene la forma de manual para coeficientes indeterminados. Se usa variación de parámetros: primero $y_h$ con la característica; después $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ con $u_1'=-\frac{y_2f}{W}$ y $u_2'=\frac{y_1f}{W}$. Machete: EDO 2.º orden, variación de parámetros.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: característica $(r+1)^2=0$, raíz doble $-1$, $y_1=e^{-x}$, $y_2=xe^{-x}$, wronskiano $W=e^{-2x}$ y $f=\dfrac{e^{-x}}{x}$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: da $y_1$ e $y_2$, necesarios para variación de parámetros. Ecuación característica:

Con raíz doble $r$ la base es $e^{rx}$ y $xe^{rx}$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: elegir el método. Por qué: el lado derecho $f=\frac{e^{-x}}{x}$ lleva un $\frac1x$, que no aparece en la lista de formas de coeficientes indeterminados (polinomio, exponencial, seno/coseno y sus productos). Cómo reconocerlo: si derivar $f$ varias veces genera infinitas funciones distintas ($\frac1x,\frac1{x^2},\dots$), no sirve coeficientes indeterminados.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular el wronskiano $W=y_1y_2'-y_2y_1'$. Por qué: aparece en el denominador de $u_1'$ y $u_2'$. Con $y_1'=-e^{-x}$ y $y_2'=e^{-x}-xe^{-x}$:

Restando (el segundo término tiene signo menos, y queda $+xe^{-2x}$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar $u_1'$ y $u_2'$. Por qué: son las derivadas de los coeficientes variables ($f=\frac{e^{-x}}{x}$, $W=e^{-2x}$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar. Por qué: para obtener $u_1$ y $u_2$ (alcanza con una primitiva, sin constante). El $\frac1x$ pide $\ln|x|$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$. El término $-xe^{-x}$ de $y_p$ es de la forma $C_2xe^{-x}$ y se absorbe en la constante $C_2$, que es arbitraria:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: el signo de $u_1'$ (lleva $-$) y no olvidar el wronskiano en el denominador; con raíz doble, $y_2=xe^{-x}$ y no $e^{-x}$ otra vez.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíz doble, $W=e^{-2x}$, $u_1=-x$, $u_2=\ln|x|$ y la solución general.
• A medias: variación de parámetros bien planteada pero error de signo o de integración en $u_1'$ o $u_2'$, o falta $y_h$.
• Mal: usa coeficientes indeterminados con una $y_p$ inventada, o no calcula $y_h$.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir la parte “nueva” $y_p=xe^{-x}\ln x$ ($x>0$, y la parte $(C_1+C_2x)e^{-x}$ ya es solución de la homogénea). Con $L=\ln x$:

Armando $y_p''+2y_p'+y_p$, sacando $e^{-x}$ como factor común y agrupando lo que multiplica a $L$ (sale $(x-2)+2(1-x)+x=0$) y lo constante ($-2+2=0$):

Cumple la ecuación.