Segundo parcial práctico — Examen Y · Tema 2 (foto de clase)

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá qué te piden: un volumen bajo una superficie $z=f(x,y)$ y sobre una región del plano. Preguntate: ¿qué forma tiene la región sombreada y dónde está respecto del eje $x$? ¿Qué te dice la marca “−4”? Y fijate en el signo de $z=\frac1y$ en esa región.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es un volumen bajo una superficie con una integral doble y la región es un círculo: conviene coordenadas polares (jacobiano $r$). Machete: Volumen con polares/cilíndricas. Hay que escribir la frontera como $r=r(\theta)$ y elegir el rango de $\theta$ donde $r\ge0$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: el círculo es $x^2+(y+2)^2=4$, o sea $r=-4\operatorname{sen}\theta$ con $\pi\le\theta\le2\pi$, y $z=\dfrac1{r\operatorname{sen}\theta}$:

Esta integral da un número negativo (en $D$ es $y<0$). El volumen es su valor absoluto.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: leer el círculo del gráfico. Por qué: sin centro y radio no hay límites. El círculo es tangente al eje $x$ en el origen y su punto más bajo es $(0,-4)$ (la marca “−4”):

Lectura del gráfico (confirmada con la foto): el enunciado no rotula centro ni radio; se leyó que el círculo toca el eje $x$ desde abajo y que “−4” marca su punto más bajo. La ecuación es:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: pasar la frontera a polares. Por qué: con $x=r\cos\theta$, $y=r\operatorname{sen}\theta$ se reemplaza en $x^2+y^2+4y=0$ (se desarrolla $(y+2)^2$ y se cancela el $4$):

Sacando factor común $r$ (con $r>0$):

Cómo reconocerlo: es el espejo del círculo de arriba: ahora $r\ge0$ exige $\operatorname{sen}\theta\le0$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: fijar los límites. Por qué: $r$ va de $0$ hasta la curva; para que $-4\operatorname{sen}\theta\ge0$ el ángulo tiene que estar en el 3.er y 4.º cuadrante:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear con el jacobiano e integrar en $r$. Por qué: $dA=r\,dr\,d\theta$ y $z=\frac1{r\operatorname{sen}\theta}$; el $r$ cancela:

La primitiva en $r$ es $\frac r{\operatorname{sen}\theta}$:

(En el origen $z=\frac1y$ no está acotada: es una integral impropia. La integral interna da $-4$ (constante) y, como $z\le0$ en $D$, la impropia converge.)

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $\theta$ e interpretar el signo. Por qué: constante por la longitud $2\pi-\pi=\pi$:

En $D$ se tiene $y<0$, o sea $z=\frac1y<0$: la superficie queda debajo del plano $xy$. La integral da el volumen con signo (negativo). El volumen, que es una cantidad positiva, es el valor absoluto:

Lectura (pendiente de revisión): se interpretó “volumen bajo la superficie” como el volumen geométrico entre la superficie y el plano $z=0$ (positivo). Si la cátedra pidiera la integral con signo, la respuesta sería $-4\pi$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: el signo: como $y<0$, la integral sale negativa y hay que aclarar que el volumen es $4\pi$; y no tomar $\theta\in[0,\pi]$ (ahí $r=-4\operatorname{sen}\theta$ sería negativo).

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto):

• Bien: círculo $x^2+(y+2)^2=4$, polares con $r=-4\operatorname{sen}\theta$, $\pi\le\theta\le2\pi$, jacobiano $r$, e interpreta el signo: $V=4\pi$ (o integral $-4\pi$ explicando que el volumen es el valor absoluto).
• A medias: planteo correcto pero con un error de signo o de intervalo de $\theta$ que lleva a $-4\pi$ sin interpretar, o un error de cuenta.
• Mal: región sin relación con el gráfico, o integra sin justificar límites.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: cartesianas, primero en $x$ (para $y$ fijo, $x^2=4-(y+2)^2=-4y-y^2$, con $y$ entre $-4$ y $0$):

Con $y=-s$ ($s$ de $4$ a $0$, $dy=-ds$) la integral pasa a ser la del Tema 1 con signo cambiado:

(el valor $\int_0^4\frac{2\sqrt{4s-s^2}}s\,ds=4\pi$ se calcula con $s=4\operatorname{sen}^2t$: $16\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt=16\cdot\frac\pi4$). Entonces la integral es $-4\pi$ y $V=4\pi$, como en polares.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Fijate qué hay en cada ecuación. En la b): ¿cómo aparece $y$ respecto de $y'$ (a qué potencia, multiplicada por qué)? En la a): ¿de qué variables depende el lado derecho, y cómo? Mirá si podés agrupar cada ecuación en una forma conocida.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

La b) es una EDO lineal de primer orden ($y'+P(x)y=Q(x)$) y se resuelve con $y=u\cdot v$. Machete: EDO lineal. La a) es homogénea: dividiendo por $x$ aparece solo $\frac yx$, y se usa $y=ux$. Machete: EDO homogénea.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho. b) $y'+\cot x\,y=\cos x$, con $P=\cot x$, $Q=\cos x$; se busca $v$ con $v'=-\cot x\,v$. a) $y'=\dfrac{\frac yx}{1+\sqrt{\frac yx}}$; con $y=ux$ queda $u'x=-\dfrac{u\sqrt u}{1+\sqrt u}$, que se separa en variables.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): despejar $y'$ y pasar a forma homogénea. Por qué: con $y(1)=1$ se trabaja con $x>0$ e $y>0$ (así $\sqrt{xy}$ existe). Se divide por $dx$ y por $(x+\sqrt{xy})$:

Dividiendo numerador y denominador por $x$ (con $x>0$, $\frac{\sqrt{xy}}{x}=\sqrt{\frac yx}$):

Cómo reconocerlo: el lado derecho depende solo de $\frac yx$ (si cambiás $x\to tx$, $y\to ty$ no cambia).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): cambio $y=ux$. Por qué: así $\frac yx=u$ e $y'=u'x+u$:

Pasando $u$ restando:

Se separan variables ($u>0$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): integrar. Por qué: $\int u^{-3/2}du=-2u^{-1/2}$ y $\int u^{-1}du=\ln u$; del lado derecho $-\ln x$ ($x>0$):

Pasando $\ln x$ a la izquierda:

Como $\ln u+\ln x=\ln(ux)=\ln y$ y $\frac1{\sqrt u}=\sqrt{\frac xy}$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): condición inicial $y(1)=1$. Por qué: fija $C$. Con $x=1$, $y=1$ ($\ln1=0$, $\sqrt{1/1}=1$):

La solución queda en forma implícita (no se puede despejar $y$ con funciones elementales). Se perdió $u=0$ ($y=0$) al dividir por $u$, pero no cumple $y(1)=1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): pasar a forma lineal. Por qué: para reconocer $P$ y $Q$ hay que dejar $y'+P(x)\,y=Q(x)$. Se pasa el término en $y$ a la izquierda:

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen solo a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí. Acá $P=\cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}x}$ y $Q=\cos x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): proponer $y=u\cdot v$ y reemplazar. Por qué: $y'=u'v+uv'$, y la ecuación queda con dos incógnitas, lo que deja libertad para elegir $v$:

Se elige $v$ para que el paréntesis valga cero: $v'=-\cot x\,v$. Separando variables:

Sin constante (alcanza una solución particular):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): hallar $u$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=\cos x$. Reemplazando $v$:

La primitiva de $\operatorname{sen}x\cos x$ es $\frac{\operatorname{sen}^2x}{2}$ (derivando se vuelve a $\operatorname{sen}x\cos x$):

Entonces $y=u\,v$:

Vale en los intervalos donde $\operatorname{sen}x\ne0$. No hay condición inicial en este inciso.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

b) $y=\frac{\operatorname{sen}x}{2}+\frac{C}{\operatorname{sen}x}$

a) $\ln y-2\sqrt{\frac xy}=-2$

Ojo con: en la b) el signo de $P$ (queda $+\cot x$ al pasar $y\cot x$ sumando) y olvidar que $v=\frac1{\operatorname{sen}x}$ divide a toda la $u$; en la a) tratar $\sqrt{xy}$ como si se pudiera sacar de la raíz sin pedir $x,y>0$, y dejar el resultado sin usar $y(1)=1$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: b) forma lineal, $v=\frac1{\operatorname{sen}x}$, $u=\frac{\operatorname{sen}^2x}2+C$ e $y$ resultante; a) $u=\frac yx$, separación de variables, $C=-2$ y la solución implícita.
• A medias: método correcto en ambas pero un error de signo o de constante, o la a) sin aplicar la condición inicial.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o usa un método que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

b) Sustituir en la ecuación. Con $y=\frac12\operatorname{sen}x+C\,\dfrac1{\operatorname{sen}x}$:

Sumando, los términos con $C$ se cancelan: $y'+\cot x\,y=\cos x$.

a) Derivar implícitamente $\ln y-2x^{1/2}y^{-1/2}=-2$:

Agrupando $y'$ y pasando el otro término:

Despejando, con $\frac{y\sqrt y}{\sqrt{xy}}=\frac{y}{\sqrt x}$:

que es la ecuación original. Condición: en $(1,1)$ da $0-2\cdot1=-2$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá la ecuación: $y''$ e $y$ con coeficientes numéricos (lineal, no homogénea). Del lado derecho está $\dfrac3{\operatorname{sen}x}$. ¿Qué tipo de ecuación es, y qué función aparece del lado derecho?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, pero el lado derecho ($\frac3{\operatorname{sen}x}=3\csc x$) no permite coeficientes indeterminados: se usa variación de parámetros, con $y=y_h+y_p$. Primero $y_h$ con la característica. Machete: EDO 2.º orden, variación de parámetros.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: $r^2+1=0$ da $y_1=\cos x$, $y_2=\operatorname{sen}x$, con $W=1$. Se propone $y_p=u\,y_1+v\,y_2$ con

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ siempre forma parte de la solución general y de ahí salen $y_1$, $y_2$:

Raíces complejas con $\alpha=0$, $\beta=1$:

Cómo reconocerlo: $f(x)=\dfrac3{\operatorname{sen}x}$ no es polinomio, exponencial ni seno/coseno.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular el wronskiano. Por qué: aparece dividiendo y tiene que ser $\ne0$. Con $y_1'=-\operatorname{sen}x$ e $y_2'=\cos x$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear $u'$ y $v'$. Por qué: son las fórmulas de variación de parámetros, con $f=\frac3{\operatorname{sen}x}$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar. Por qué: para obtener $u$ y $v$ (sin constantes). La primitiva de $\cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}$ es $\ln|\operatorname{sen}x|$ (la derivada de $\operatorname{sen}x$ está en el numerador):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar $y_p$ y la solución general. Por qué: $y_p=u\,y_1+v\,y_2$ y $y=y_h+y_p$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: el signo de $u'$ (lleva un menos), y olvidar el valor absoluto del logaritmo (la solución vale donde $\operatorname{sen}x\ne0$).

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíces $\pm i$, $W=1$, $u'=-3$, $v'=3\cot x$, $y_p$ correcta y solución general $y_h+y_p$.
• A medias: $y_h$ y fórmulas bien, pero un error de signo o de integración en $u$ o $v$.
• Mal: intenta coeficientes indeterminados o no distingue $y_h$ de $y_p$.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir $y_p=-3x\cos x+3\operatorname{sen}x\ln\operatorname{sen}x$ (con $\operatorname{sen}x>0$) en $y''+y$. Primera derivada:

Los términos $\mp3\cos x$ se cancelan:

Segunda derivada:

Sumando $y_p$, se cancelan los términos con $x$ y con el logaritmo:

Cumple la ecuación.