Segundo parcial práctico — Examen W · Tema 1 (foto de clase)

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá qué te piden: un volumen entre dos superficies que tienen $z$ en función de $x$ e $y$. Preguntate: ¿sobre qué región del plano $xy$ se apoya el cuerpo? ¿Qué te da la recta para dibujar esa región? ¿Cuál de las dos superficies queda arriba?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es un volumen entre dos superficies con una integral doble en cartesianas: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. La recta se usa para hallar el punto donde corta a la hipérbola: ese punto fija el borde izquierdo de $D$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: recta $y=2x-1$, que corta a $y=\frac1x$ en $x=1$. La región es $D:\ 1\le x\le3,\ 0\le y\le\frac1x$ y el techo es $z=x^2y$ (piso $z=-x$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la ecuación de la recta $y=ax+b$ que pasa por $p_1=(0,-1)$ y $p_2=(2,3)$. Por qué: el gráfico no trae su ecuación y la necesitamos para ubicar el punto de corte con la hipérbola. La pendiente es el cociente de las diferencias:

En $x=0$ vale $-1$, así que $b=-1$:

Lectura del gráfico (pendiente de revisión): en el gráfico no están rotulados los puntos de corte. Se leyó que el borde izquierdo de la región es la vertical que pasa por el punto donde la recta corta a la hipérbola, el borde derecho es la vertical $x=3$, abajo está el eje $x$ y arriba la hipérbola $y=\frac1x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar donde la recta corta a la hipérbola. Por qué: ese punto da el borde izquierdo de $D$. Se igualan $2x-1=\frac1x$ y se multiplica todo por $x$ (con $x\neq0$):

Pasando el $1$ restando queda una cuadrática, que se factoriza:

Las raíces son $x=-\tfrac12$ y $x=1$. En el gráfico el corte sombreado está en el primer cuadrante, a la derecha del eje $y$ (la otra raíz corresponde a la rama de la hipérbola del tercer cuadrante). Entonces $x=1$, y el punto es $(1,1)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: describir la región $D$. Por qué: con el dibujo se lee: entre las verticales $x=1$ y $x=3$, por encima del eje $x$ ($y=0$) y por debajo de la hipérbola:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: decidir techo y piso. Por qué: en $D$ se tiene $x>0$ e $y\ge0$, entonces $z_2=x^2y\ge0$ y $z_1=-x<0$: $z_2$ queda arriba. De hecho

Cómo reconocerlo: si no estás seguro de cuál es cuál, probá un punto de $D$, por ejemplo $(2,\tfrac14)$: $z_2=1$ y $z_1=-2$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear la integral. Por qué: el volumen es la integral de (techo − piso) sobre $D$. El orden $dy\,dx$ conviene porque en $y$ los límites son $0$ y $\frac1x$ y en $x$ son números:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $y$ (integral interna, $x$ es constante). Por qué: la primitiva de $x^2y$ es $\frac{x^2y^2}{2}$ y la de $x$ es $xy$:

Evaluando en $y=\frac1x$ (en $y=0$ vale 0):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $x$. Por qué: lo que quedó es una constante, que se multiplica por la longitud del intervalo $3-1=2$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: no hallar la recta (sin ella no sabés dónde empieza $D$), o restar al revés las superficies (piso − techo daría $-3$).

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto; se supone que piden gráfico, planteo y todas las cuentas):

• Bien: recta $y=2x-1$, corte en $x=1$, región $D$ dibujada, integral $\int_1^3\!\int_0^{1/x}(x^2y+x)\,dy\,dx$ con techo y piso bien identificados y $V=3$.
• A medias: planteo correcto (recta, $D$, techo − piso) pero con un error de cuenta que cambia el resultado.
• Mal: sin región ni planteo, o límites inventados, o resta mal las superficies.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: cambiar el orden de integración ($dx$ primero). Con $y$ fijo, $x$ va de $1$ a $3$ mientras $y\le\frac13$; para $\frac13\le y\le1$ el borde derecho pasa a ser la hipérbola ($x=\frac1y$).

Primitiva en $x$: $\int(x^2y+x)\,dx=\dfrac{x^3y}{3}+\dfrac{x^2}{2}$.

Tramo 1 ($0\le y\le\frac13$, $x$ de $1$ a $3$):

Tramo 2 ($\frac13\le y\le1$, $x$ de $1$ a $\frac1y$):

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Fijate qué hay en cada ecuación: derivadas de primer orden y la función $y$. En la a) ¿cómo aparece $y$ respecto de $y'$? En la b) ¿de qué variables depende el lado derecho, y cómo? Mirá si podés agrupar cada ecuación en una forma conocida.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

La a) es una EDO lineal de primer orden (se escribe $y'+P(x)y=Q(x)$) y se resuelve con $y=u\cdot v$. Machete: EDO lineal. La b) es homogénea: dividiendo todo por $x$ aparece sólo $\frac yx$, y se usa $y=ux$. Machete: EDO homogénea.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho. a) $y'-\dfrac4x\,y=x^4e^x$, con $P=-\frac4x$, $Q=x^4e^x$; se busca $v$ con $v'=\frac4x\,v$. b) $y'=\dfrac yx+\sqrt{1-\big(\tfrac yx\big)^2}$; con $y=ux$ queda $u'x=\sqrt{1-u^2}$, que se separa en variables.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): pasar a forma lineal. Por qué: para reconocer $P$ y $Q$ hay que despejar $y'$. Se divide por $dx$ y por $x$:

Dividiendo por $x$:

Pasando el término en $y$ a la izquierda:

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen sólo a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): proponer $y=u\cdot v$ y reemplazar. Por qué: al derivar $y'=u'v+uv'$, y la ecuación queda con dos incógnitas $u$ y $v$, lo que da libertad para elegir $v$ cómodamente:

Se elige $v$ para que el paréntesis valga cero: $v'=\frac4x\,v$. Separando variables y tomando $\int\frac{dv}{v}=\int\frac{4}{x}\,dx$ se obtiene $\ln|v|=4\ln|x|$, o sea (sin constante, alcanza una solución particular):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): hallar $u$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=x^4e^x$. Reemplazando $v=x^4$:

Entonces $y=uv$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): usar la condición inicial $y(1)=2e$. Por qué: fija el valor de $C$. Reemplazando $x=1$ ($1^4=1$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): pasar a forma homogénea. Por qué: se despeja $y'$ y se divide todo por $x$ (con $x>0$, ya que $x(1)=1$, es $\sqrt{x^2}=x$):

Cómo reconocerlo: todo el lado derecho depende sólo de $\frac yx$ (si reemplazás $x\to tx$, $y\to ty$ nada cambia).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): cambio $y=ux$. Por qué: así $\frac yx=u$, y $y'=u'x+u$:

Se separan variables ($u'=\frac{du}{dx}$) y se integra, con $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u$:

(se escribe $\ln x$ sin valor absoluto porque $x>0$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): condición inicial $y(1)=-1$. Por qué: en $x=1$ es $u=\frac yx=-1$, y $\ln1=0$:

Despejando $u$ (con $\sin(\alpha-\frac\pi2)=-\cos\alpha$):

Dominio: hace falta $\sin(\ln x)\ge0$ ($u'x=\sqrt{1-u^2}=\sin(\ln x)$ tiene que ser la raíz, no negativa), o sea $1\le x\le e^{\pi}$. Así, $y=-x\cos(\ln x)$ vale solo en $[1,e^\pi]$: para $x<1$ daría $x\sin(\ln x)<0$, que no puede ser una raíz.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): buscar las soluciones constantes $u=\pm1$. Por qué: al dividir por $\sqrt{1-u^2}$ se pierden las $u$ que lo anulan. Con $u=-1$ es $y=-x$: $y'=-1$, y $xy'-y=-x+x=0=\sqrt{x^2-y^2}$, así que cumple la EDO y $y(1)=-1$ (y $u=1$ da $y=x$). No hay unicidad: $f(x,y)=\frac yx+\sqrt{1-(y/x)^2}$ tiene $\frac{\partial f}{\partial y}$ no acotada cuando $|u|=1$, y el teorema de existencia y unicidad no aplica en $(1,-1)$. La solución de separar variables se despega de $y=-x$ en $x=1$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

a) $y=x^4\,(e^x+e)$

b) $y=-x\cos(\ln x)$

Ojo con: en la a) el error típico es el signo de $P$ (queda $-\frac4x$ al pasar $\frac4x\,y$ restando); en la b) perder la solución constante $u=\pm1$: acá $y=-x$ también cumple la ecuación y la condición $y(1)=-1$, así que el problema no tiene solución única. Lo más probable es que la cátedra espere la que sale de separar variables (estimación, no oficial); conviene mencionar también $y=-x$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: a) forma lineal, $v=x^4$, $u=e^x+C$ y $C=e$; b) $u=\frac yx$, $\arcsin u=\ln x+C$, $C=-\frac\pi2$ y $y=-x\cos(\ln x)$. Suma mencionar la solución singular $y=-x$ (no se espera como única respuesta).
• A medias: método correcto en ambas pero un error de signo o de constante, o una de las dos resuelta sin aplicar la condición inicial.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o usa un método que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

a) Sustituir en la ecuación. Con $y=x^4e^x+ex^4$:

Y el lado derecho es:

Son iguales. Condición: $y(1)=e+e=2e$.

b) Sustituir en $xy'-y$. Con $y=-x\cos(\ln x)$, $y'=-\cos(\ln x)+\sin(\ln x)$ (la derivada de $\cos(\ln x)$ es $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$):

y $\sqrt{x^2-y^2}=x\sqrt{1-\cos^2(\ln x)}=x\sin(\ln x)$ si $\sin(\ln x)\ge0$ (para $1\le x\le e^\pi$). Condición: $y(1)=-1\cdot\cos0=-1$.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Mirá la ecuación: $y''$, $y'$ (acá no está) e $y$ con coeficientes que son números, y del lado derecho una exponencial por un coseno. ¿Qué tipo de ecuación es y qué forma tiene su solución general?

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: $y=y_h+y_p$ con coeficientes indeterminados. Primero $y_h$ con la característica; después $y_p$ copia la forma del lado derecho (ojo con la resonancia). Machete: EDO 2.º orden, coeficientes indeterminados.

Pista · Elaborado para el sitio — no oficial

Planteo casi hecho: característica $r^2+9=0$, $y_h=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)$. El lado derecho $e^x\cos(3x)$ tiene “exponente” $1\pm3i$, que no es raíz ($\pm3i$), así que no hay resonancia:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ siempre forma parte de la solución general. Se prueba $y=e^{rx}$:

Raíces complejas $\alpha\pm\beta i$ con $\alpha=0$, $\beta=3$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es $e^{x}\cos(3x)$ (exponencial por seno/coseno) y su “exponente complejo” es $1+3i$. Cómo reconocerlo: se compara con las raíces de la característica: $1+3i\ne\pm3i$, así que no se multiplica por $x$. Va seno y coseno aunque el lado derecho sólo traiga coseno, porque al derivar uno genera al otro:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la ecuación. Con la regla del producto:

Derivando de nuevo con la misma regla:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''+9y$. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación. Sumando $y_p''$ y $9y_p=e^x\big[9A\cos(3x)+9B\sin(3x)\big]$ (coeficiente de cada función, uno por línea):

• coseno: $(-8A+6B)+9A=A+6B$
• seno: $(-6A-8B)+9B=-6A+B$

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos funciones iguales para todo $x$ tienen los mismos coeficientes en $\cos(3x)$ y en $\sin(3x)$:

De la segunda, $B=6A$. Reemplazando en la primera:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: proponer sólo $Ae^x\cos(3x)$ (hay que incluir el seno) y los signos al derivar $\cos(3x)$ y $\sin(3x)$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíces $\pm3i$, $y_p$ con seno y coseno, sistema $A+6B=37$, $-6A+B=0$ y solución con $A=1$, $B=6$.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ bien, pero errores de derivación o de signo en los coeficientes.
• Mal: no distingue $y_h$ de $y_p$, o propone un $y_p$ que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir $y_p=e^x(\cos3x+6\sin3x)$ en la ecuación, derivando con números. Primera derivada (con $A=1$, $B=6$: $A+3B=19$ y $B-3A=3$):

Segunda derivada ($-8A+6B=28$ y $-6A-8B=-54$):

Sumando $9y_p=e^x[9\cos3x+54\sin3x]$:

Cumple la ecuación.