Segundo parcial práctico — Examen Z · Tema 1 (foto de clase)

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Mirá qué te piden: el área de una región encerrada por una parábola y dos rectas. Preguntate: ¿qué datos te faltan para dibujar la parábola? ¿Dónde se cortan las curvas que limitan la región? ¿Hay un único “techo” y un único “piso” en toda la región, o cambian en algún lado?

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Es un área con una integral doble ($A=\iint_D dA$) en cartesianas, con la región entre curvas: $\int_{x_1}^{x_2}(\text{techo}-\text{piso})\,dx$. Como el techo cambia de recta, hay que partir la región en dos tramos por la vertical que pasa por el punto donde se cruzan las rectas. Hay que hallar $a$, $b$ y $c$ con los tres puntos.

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Planteo casi hecho: la parábola es $y=x^2-x-1$. Los cortes están en $x=-1$, $x=1$ y $x=2$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar la parábola $y=ax^2+bx+c$. Por qué: el gráfico no trae $a$, $b$, $c$ y los necesitamos para los cortes. Cada punto da una ecuación al reemplazar $x$ e $y$. Con $p_2=(0,-1)$:

Con $p_1=(-1,1)$ y $p_3=(1,-1)$ (ya con $c=-1$):

Sumando las dos ecuaciones se va $b$:

Y de $a+b=0$ con $a=1$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar donde la parábola corta a cada recta. Por qué: esos puntos son los vértices de la región. Se igualan:

• Con $y=x+2$: $x^2-x-1=x+2$, o sea $x^2-2x-3=0$, que factoriza como $(x-3)(x+1)=0$. Las raíces son $x=3$ y $x=-1$ (este último es $p_1$, con $y=1$).
• Con $y=-2x+5$: $x^2-x-1=-2x+5$, o sea $x^2+x-6=0$, que factoriza como $(x+3)(x-2)=0$. Las raíces son $x=-3$ y $x=2$ (con $y=1$).

Las rectas entre sí: $x+2=-2x+5$ da $x=1$ e $y=3$, o sea el punto $(1,3)$.

Lectura del gráfico (confirmada con la foto): se tomó que la región sombreada es la encerrada por la parábola (abajo) y las dos rectas (arriba), con vértices $(-1,1)$, $(1,3)$ y $(2,1)$. Los otros cortes ($(3,5)\text{ y }(-3,11)$) caen fuera de la región sombreada. Los puntos de corte no están rotulados en el enunciado.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: decidir techo y piso, y partir la región. Por qué: el piso es siempre la parábola. El techo es la recta más baja de las dos (la región está debajo de ambas). Se prueba un punto de cada lado de $x=1$:

• $x=0$: $x+2\to2$ y $-2x+5\to5$, es menor la primera.
• $x=1.5$: $x+2\to3.5$ y $-2x+5\to2$, es menor la segunda.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear el área. Por qué: $A=\iint_D dA$, integrando primero en $y$ (de piso a techo, da la altura de cada columna):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: primer tramo. Por qué: se integra cada potencia y se evalúa en los límites (cada valor en su línea). Primitiva:

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Qué: segundo tramo. Por qué: igual que el anterior, con la otra recta. Primitiva:

Sumando los dos tramos (denominador común $6$):

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: integrar todo el intervalo con una sola recta (el techo cambia en $x=1$), restar al revés (techo − piso, nunca piso − techo), o usar los cortes $x=3\text{ o }-3$ que quedan fuera de la región.

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto; se supone que piden gráfico, planteo y todas las cuentas):

• Bien: parábola $y=x^2-x-1$, cortes hallados, región partida en dos tramos con techo y piso correctos, integrales planteadas y $A=\frac{15}{2}$.
• A medias: parábola y región bien, pero un error de límites o de cuenta que cambia el resultado (por ejemplo, usar una sola recta).
• Mal: parábola mal calculada o sin planteo coherente con el gráfico.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: área bajo las rectas menos área bajo la parábola, sobre $[-1,2]$ (como la región es lo que queda entre ambas, resta de áreas “hasta el eje $x$”).

Bajo las rectas son dos trapecios, con la fórmula geométrica $\frac{(\text{base}_1+\text{base}_2)}{2}\cdot\text{ancho}$ (las alturas son los valores de la recta en los extremos del tramo):

Total bajo las rectas: $4+2=6$.

Bajo la parábola (con signo, porque en parte es negativa):

El área de la región es la diferencia:

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Fijate en cada ecuación. En la a): ¿qué pasa si la escribís con todo en un lado, como (algo)$\,dx+$(algo)$\,dy=0$? ¿Hay alguna relación entre esos dos “algo” cuando los derivás? En la b): ¿qué término impide que sea lineal en $y$?

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La a) es una EDO exacta ($\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$): se busca $u(x,y)$ con $u_x=M$ y $u_y=N$. Machete: EDO exacta. La b) es de Bernoulli ($y'+P\,y=Q\,y^n$): se usa $z=y^{1-n}$ y queda una lineal. Machete: EDO de Bernoulli.

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Planteo casi hecho. a) $M=\dfrac{2x}{y^3}$, $N=-\dfrac{3x^2-y^2}{y^4}$; $u=\int M\,dx=\dfrac{x^2}{y^3}+g(y)$ y se determina $g$ con $u_y=N$. b) $y'+\dfrac2{3x}\,y=-\dfrac{x^2+2}{3}\,y^4$ ($n=4$); con $z=y^{-3}$ queda $z'-\dfrac2x\,z=x^2+2$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): llevar la ecuación a la forma $M\,dx+N\,dy=0$. Por qué: para ver si es exacta hay que reconocer $M$ y $N$. Pasando todo a un lado:

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Qué (a): verificar que es exacta. Por qué: una ecuación $M\,dx+N\,dy=0$ viene de $du=0$ para alguna $u(x,y)$ si y solo si $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. Derivando:

Son iguales: es exacta.

Cómo reconocerlo: no hay ni una $y$ ni una $x$ “sola” que se pueda separar, no es lineal en $y$, y el chequeo cruzado da igual.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): hallar la función potencial $u(x,y)$. Por qué: debe cumplir $u_x=M$ y $u_y=N$. Se integra $M$ en $x$ (con $y$ constante) y se agrega una función $g(y)$:

Se deriva en $y$ y se iguala a $N$:

Los términos con $x$ coinciden y queda $g'(y)=\frac1{y^2}$, entonces:

La solución general es $u(x,y)=C$.

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Qué (a): usar la condición inicial $y(2)=1$. Por qué: fija $C$. Con $x=2$, $y=1$:

Multiplicando por $y^3$ se puede escribir $x^2-y^2=3y^3$.

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Qué (b): pasar a la forma de Bernoulli. Por qué: para reconocer el tipo hay que despejar $y'$ y dejar $y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^n$. Se pasa $2xy$ y $(x^2+2)x^2y^4$ restando y se divide por $3x^2$:

Cómo reconocerlo: es lineal salvo por el término con $y^4$: Bernoulli con $n=4$. Machete: EDO de Bernoulli.

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Qué (b): cambio $z=y^{1-n}=y^{-3}$. Por qué: convierte la ecuación en una lineal en $z$. Su derivada es $z'=-3y^{-4}y'$, o sea $y^{-4}y'=-\frac{z'}3$. Se divide la ecuación por $y^4$:

Reemplazando $y^{-4}y'=-\frac{z'}3$ e $y^{-3}=z$:

Multiplicando todo por $-3$:

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Qué (b): resolver la lineal con $z=u\cdot v$. Por qué: $z'=u'v+uv'$ y queda:

Se elige $v$ con $v'=\frac2x\,v$: $\ln|v|=2\ln|x|$, y sin constante:

Con el paréntesis nulo queda $u'x^2=x^2+2$:

(la primitiva de $2x^{-2}$ es $-2x^{-1}$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): armar $z$ y volver a $y$. Por qué: $z=u\,v$ y $y=z^{-1/3}$:

Al dividir por $y^4$ se perdió la solución $y=0$ (también cumple la ecuación). No hay condición inicial en este inciso.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

a) $\frac{x^2}{y^3}-\frac1y=3\quad(\text{o }x^2-y^2=3y^3)$

b) $y=\big(x^3+Cx^2-2x\big)^{-1/3}\quad(\text{y también }y=0)$

Ojo con: en la a) el signo de $N$ (al pasar $dy$ del otro lado cambia) y la constante $g(y)$; en la b) que el exponente del cambio es $1-n=-3$ (no $-4$) y que al volver hay que elevar a $-\frac13$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: a) verifica exactitud, halla $u=\frac{x^2}{y^3}-\frac1y$ y $C=3$; b) reconoce Bernoulli, $z=y^{-3}$, lineal $z'-\frac2xz=x^2+2$ y vuelve a $y$.
• A medias: método correcto en ambas pero un error de signo o de constante, o una sin la condición inicial / sin volver a $y$.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o usa un método que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

a) Derivar implícitamente $\frac{x^2}{y^3}-\frac1y=3$ respecto de $x$:

Pasando el primer término y sacando factor común $y'$:

que es la ecuación original. Condición: en $(2,1)$, $\frac41-\frac11=3$.

b) Con $z=x^3-2x+Cx^2$ se verifica la lineal:

Y volviendo a $y=z^{-1/3}$ en la ecuación original ($y'=-\frac13z^{-4/3}z'$), multiplicando por $z^{4/3}$:

porque $z'-\frac2xz=x^2+2$.

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Mirá la ecuación: $y''$, $y'$ e $y$ con coeficientes que son números, y del lado derecho una exponencial más un polinomio. ¿Qué tipo de ecuación es y qué forma tiene su solución general?

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Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, no homogénea: $y=y_h+y_p$ con coeficientes indeterminados. Primero $y_h$ con la característica; después $y_p$ copia la forma del lado derecho, una parte por cada sumando (ojo con la resonancia). Machete: EDO 2.º orden, coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: $r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0$ da $y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$. Como $e^{-2x}$ ya está en $y_h$ hay resonancia y se multiplica por $x$; el polinomio $x-1$ es de grado 1 (y $r=0$ no es raíz):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ siempre forma parte de la solución general. Se prueba $y=e^{rx}$:

Raíces reales distintas:

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Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es suma de $3e^{-2x}$ y del polinomio $x-1$, y se propone una parte por cada uno. Cómo reconocerlo: se compara con $y_h$: $e^{-2x}$ ya es solución de la homogénea (resonancia), así que se multiplica por $x$: $Axe^{-2x}$. El polinomio de grado 1 pide $Bx+D$ completo, aunque solo aparezca $x-1$ (y $r=0$ no es raíz):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la ecuación. Con la regla del producto:

(derivando $e^{-2x}(1-2x)$: $-2e^{-2x}(1-2x)-2e^{-2x}=e^{-2x}(-4+4x)$).

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''+3y'+2y$, separando la parte exponencial y la polinómica. Por qué: $y_p$ debe cumplir la ecuación. Parte exponencial ($y''$, $3y'$ y $2y$ aportan):

(el término en $x$ se anula: es la resonancia). Parte polinómica ($3y'$ aporta $3B$ y $2y$ aporta $2Bx+2D$):

Entonces:

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Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos funciones iguales para todo $x$ tienen los mismos coeficientes en cada función base:

• $e^{-2x}$: $-A=3\ \Rightarrow\ A=-3$
• $x$: $2B=1\ \Rightarrow\ B=\tfrac12$
• constante: $3B+2D=-1$, con $B=\frac12$: $\tfrac32+2D=-1\ \Rightarrow\ 2D=-\tfrac52\ \Rightarrow\ D=-\tfrac54$

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: olvidar la resonancia (proponer $Ae^{-2x}$ da $0=3$, sin solución) y proponer solo $Bx$ sin el término constante $D$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíces $-1$ y $-2$, $y_p=Axe^{-2x}+Bx+D$ (con $x$ por la resonancia), $A=-3$, $B=\frac12$, $D=-\frac54$ y solución general.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ bien, pero errores de derivación o de signo en los coeficientes; o sin $x$ en la exponencial (si se nota que no cierra).
• Mal: no distingue $y_h$ de $y_p$, o propone un $y_p$ que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir $y_p=-3xe^{-2x}+\frac x2-\frac54$ en la ecuación, derivando con números. Con $A=-3$, $B=\frac12$:

Sumando $y_p''+3y_p'+2y_p$, parte exponencial (coeficientes de $e^{-2x}$):

Parte no exponencial:

Resulta $3e^{-2x}+x-1$: cumple la ecuación.