Segundo parcial práctico — Examen X · Tema 2 (foto de clase)

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Te piden el área de una región dibujada: hay que leer el gráfico. Preguntate: ¿qué curvas la encierran y en qué puntos se cortan? ¿Cuál queda arriba y cuál abajo en cada tramo? ¿Qué parte del círculo queda adentro de la región y cuál afuera?

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El área de una región plana es la integral doble de 1 sobre ella: $A=\iint_D dA=\int\big(y_{\text{techo}}-y_{\text{piso}}\big)\,dx$. Hay que averiguar los datos que no están rotulados (centro y radio del círculo, raíces de la parábola) y ver si conviene calcular la región como “área grande menos área chica”.

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Planteo casi hecho: parábola de raíces $-1$ y $4$, círculo $x^2+y^2=4$ (centro en el origen). La región es el área bajo la parábola entre $x=0$ y $x=4$ menos el cuarto de círculo:

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Qué: estudiar la parábola $y=-\frac12x^2+\frac32x+2$. Por qué: sus puntos clave aparecen en el borde de la región. Raíces (se multiplica por $-2$ para limpiar fracciones):

Corta al eje $x$ en $x=-1$ y $x=4$. Con $x=0$ vale $2$: pasa por $(0,2)$. El vértice está en $x=\frac32$ (punto medio de las raíces) con $y=\frac{25}{8}$.

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Qué: hallar el círculo. Por qué: el gráfico no rotula centro ni radio. Lectura del gráfico (pendiente de revisión): el círculo está centrado en el origen y pasa por $(0,2)$, que es el punto donde la parábola corta al eje $y$ y donde empieza la región sombreada. Entonces el radio es $2$:

y corta al eje $x$ en $(2,0)$. En el dibujo, la región está por encima del círculo y del eje $x$, y por debajo de la parábola, con el eje $y$ como borde izquierdo (la región arranca en el punto $(0,2)$) y llega hasta el corte de la parábola con el eje, $(4,0)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: describir la región. Por qué: para $0\le x\le4$ el techo es la parábola. El piso cambia: para $0\le x\le2$ es el arco del círculo $y=\sqrt{4-x^2}$ y para $2\le x\le4$ es el eje $x$. Comprobación de que la parábola queda arriba del círculo en $[0,2]$: en $x=1$ la parábola vale $3$ y el círculo $\sqrt3\approx1{,}73$. Como el arco de círculo con $0\le x\le2$ y el eje $x$ encierran el cuarto de disco, la región es “todo lo que hay bajo la parábola en $[0,4]$” menos ese cuarto de disco.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear el área. Por qué: es la diferencia de dos áreas conocidas, y evita partir la integral en tramos:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular el área bajo la parábola. Por qué: se integra término a término:

Evaluando en $x=4$ (en $0$ vale 0), uno por uno:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular $\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$. Por qué: es un cuarto del área del círculo de radio $2$:

(con $x=2\sin t$ da $\int_0^{\pi/2}4\cos^2t\,dt=4\cdot\frac\pi4=\pi$).

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Qué: restar. Por qué: $A=\frac{28}{3}-\pi\approx9{,}33-3{,}14$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: restar el círculo entero (πR² = 4π) en vez del cuarto que está dentro de $[0,4]\times[0,\infty)$, y con el radio: no está dado, sale de que el círculo pasa por $(0,2)$.

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto; se supone que piden planteo y todas las cuentas):

• Bien: raíces de la parábola, círculo $x^2+y^2=4$, región como área bajo la parábola entre $0$ y $4$ menos el cuarto de círculo (o en tramos), cuentas correctas y $A=\frac{28}3-\pi$.
• A medias: planteo bien pero un error de cuenta (por ejemplo en $\frac{28}{3}$), o resta el círculo completo.
• Mal: sin planteo, o círculo y parábola mal identificados (otro centro o radio sin justificar).

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente para el área bajo la parábola, sin integrar de $0$ a $4$: la fórmula del segmento parabólico, $\frac{|a|\,L^3}{6}$ con $L$ la distancia entre raíces, da el área entre $-1$ y $4$ ($L=5$, $|a|=\frac12$):

A eso se le saca el tramo de $-1$ a $0$:

Y el cuarto de círculo, por geometría: $\frac14\pi r^2=\frac14\pi\cdot4=\pi$. Entonces $A=\frac{28}{3}-\pi$.

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Fijate qué hay en cada ecuación. En la a) aparece $y'$ y una función de $x$ que multiplica a $y$. En la b), $y'$ está igualada a un cociente de dos expresiones en $x$ e $y$. ¿Qué forma tiene cada una? Ojo con $\frac{1}{\operatorname{cosec}(x)}$: ¿a qué función conocida equivale?

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La a) es lineal de primer orden: $y'+P(x)y=Q(x)$, con $y=u\cdot v$. Machete: EDO lineal. La b), pasando a $M\,dx+N\,dy=0$, se comprueba si es exacta: $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$; si lo es, se busca $F$ con $F_x=M$, $F_y=N$ y la solución es $F=C$. Machete: EDO exacta.

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Planteo casi hecho. a) $y'-\tan x\cdot y=\sin x$, con $P=-\tan x$; se busca $v$ con $v'=\tan x\cdot v$. b) $M=4xy^3+3y^2+1$, $N=6x^2y^2+6xy$; $F=\int M\,dx+g(y)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): simplificar y pasar a forma lineal. Por qué: $\operatorname{cosec}(x)=\frac1{\sin x}$, entonces $\frac1{\operatorname{cosec}(x)}=\sin x$:

Pasando $y\tan x$ a la izquierda:

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): $y=u\cdot v$ y elegir $v$. Por qué: con $y'=u'v+uv'$ la ecuación queda $u'v+u\,(v'-\tan x\cdot v)=\sin x$, y se elige $v$ para que el paréntesis sea cero: $v'=\tan x\cdot v$. Separando variables:

Sin constante, $v=\dfrac1{\cos x}$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): hallar $u$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=\sin x$, o sea $u'\cdot\frac1{\cos x}=\sin x$:

(sustituyendo $w=\sin x$, $dw=\cos x\,dx$). Entonces $y=uv$:

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Qué (b): ordenar como $M\,dx+N\,dy=0$. Por qué: se multiplica $y'=\frac{dy}{dx}$ por el denominador y por $dx$ para pasar todo a un lado:

con $M=4xy^3+3y^2+1$ y $N=6x^2y^2+6xy$.

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Qué (b): verificar si es exacta. Por qué: sin $M_y=N_x$ el método de $F$ no vale:

Son iguales: es exacta.

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Qué (b): integrar $M$ respecto de $x$. Por qué: $F_x=M$, y lo que no depende de $x$ queda como una función $g(y)$:

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Qué (b): hallar $g(y)$ y usar $y(1)=1$. Por qué: $F$ también debe cumplir $F_y=N$:

Entonces $g$ es constante (se absorbe en $C$) y la solución es $2x^2y^3+3xy^2+x=C$. Reemplazando $x=1$, $y=1$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

a) $y=\frac{\dfrac{\sin^2x}{2}+C}{\cos x}$

b) $2x^2y^3+3xy^2+x=6$

Ojo con: en la a) el signo de $P=-\tan x$ y que $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|$; en la b) verificar $M_y=N_x$ antes de integrar y no perder el signo "$-$" al ordenar la ecuación.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: a) simplifica $\frac1{\operatorname{cosec}x}=\sin x$, $v=\frac1{\cos x}$, $u=\frac{\sin^2x}{2}+C$; b) ordena, verifica exactitud, obtiene $F$ con $g'=0$ y $C=6$.
• A medias: método correcto pero sin verificar la exactitud, o un error de signo en $\int\tan x\,dx$, o la b) sin aplicar la condición.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o da una función que no cumple la ecuación.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

a) Sustituir en la ecuación. Con $y=\dfrac{\sin^2x}{2\cos x}+\dfrac{C}{\cos x}$:

Restando, $y'-y\tan x=\sin x$.

b) Derivar la solución implícitamente respecto de $x$ con $y=y(x)$:

Agrupando:

que es la ecuación original. Segundo control, empezando por $N$ en $y$: $\int N\,dy=2x^2y^3+3xy^2+h(x)$ y $F_x=4xy^3+3y^2+h'(x)=M$ da $h'=1$, $h=x$: la misma $F$. En $(1,1)$: $2+3+1=6$.

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Mirá la ecuación: $y''$, $y'$ e $y$ con coeficientes numéricos, y del lado derecho una función que no es polinomio ni exponencial pura. ¿Qué tipo de ecuación es? ¿Qué función aparece del lado derecho?

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Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, pero $\frac{e^{2x}}{x}$ no tiene la forma de manual para coeficientes indeterminados. Se usa variación de parámetros: primero $y_h$ con la característica; después $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ con $u_1'=-\frac{y_2f}{W}$ y $u_2'=\frac{y_1f}{W}$. Machete: EDO 2.º orden, variación de parámetros.

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Planteo casi hecho: característica $(r-2)^2=0$, raíz doble $2$, $y_1=e^{2x}$, $y_2=xe^{2x}$, wronskiano $W=e^{4x}$ y $f=\dfrac{e^{2x}}{x}$:

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Qué: resolver la homogénea. Por qué: da $y_1$ e $y_2$, necesarios para variación de parámetros. Ecuación característica:

Con raíz doble $r$ la base es $e^{rx}$ y $xe^{rx}$:

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Qué: elegir el método. Por qué: el lado derecho $f=\frac{e^{2x}}{x}$ lleva un $\frac1x$, que no aparece en la lista de formas de coeficientes indeterminados (polinomio, exponencial, seno/coseno y sus productos). Cómo reconocerlo: si derivar $f$ varias veces genera infinitas funciones distintas ($\frac1x,\frac1{x^2},\dots$), no sirve coeficientes indeterminados.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: calcular el wronskiano $W=y_1y_2'-y_2y_1'$. Por qué: aparece en el denominador de $u_1'$ y $u_2'$. Con $y_1'=2e^{2x}$ y $y_2'=e^{2x}+2xe^{2x}$:

Restando:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar $u_1'$ y $u_2'$. Por qué: son las derivadas de los coeficientes variables ($f=\frac{e^{2x}}{x}$, $W=e^{4x}$):

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar. Por qué: para obtener $u_1$ y $u_2$ (alcanza con una primitiva, sin constante). El $\frac1x$ pide $\ln|x|$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$. El término $-xe^{2x}$ de $y_p$ es de la forma $C_2xe^{2x}$ y se absorbe en la constante $C_2$, que es arbitraria:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: el signo de $u_1'$ (lleva $-$) y no olvidar el wronskiano en el denominador; con raíz doble, $y_2=xe^{2x}$ y no $e^{2x}$ otra vez.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíz doble, $W=e^{4x}$, $u_1=-x$, $u_2=\ln|x|$ y la solución general.
• A medias: variación de parámetros bien planteada pero error de signo o de integración en $u_1'$ o $u_2'$, o falta $y_h$.
• Mal: usa coeficientes indeterminados con una $y_p$ inventada, o no calcula $y_h$.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir la parte “nueva” $y_p=xe^{2x}\ln x$ ($x>0$; la parte $(C_1+C_2x)e^{2x}$ ya es solución de la homogénea). Con $L=\ln x$:

Armando $y_p''-4y_p'+4y_p$, con $e^{2x}$ como factor común: lo que multiplica a $L$ es $(4+4x)-4(1+2x)+4x=0$, y lo constante es $4-4=0$ (queda además $\frac1x$):

Cumple la ecuación.