Segundo parcial práctico — Examen W · Tema 2 (foto de clase)

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Mirá qué te piden: un volumen entre dos superficies que tienen $z$ en función de $x$ e $y$. Preguntate: ¿sobre qué región del plano $xy$ se apoya el cuerpo? ¿Qué te da la recta para dibujar esa región? ¿Cuál de las dos superficies queda arriba?

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Es un volumen entre dos superficies con una integral doble en cartesianas: $V=\iint_D(z_{\text{techo}}-z_{\text{piso}})\,dA$. La recta se usa para hallar el punto donde corta a la hipérbola: ese punto fija el borde izquierdo de $D$. Ojo: acá el techo no es el que parece, hay que comprobarlo en $D$.

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Planteo casi hecho: recta $y=\frac{x+1}{2}$, que corta a $y=\frac1x$ en $x=1$. La región es $D:\ 1\le x\le2,\ 0\le y\le\frac1x$ y el techo es $z=x$ (piso $z=x^2y$):

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Qué: hallar la ecuación de la recta $y=ax+b$ que pasa por $p_1=(0,\tfrac12)$ y $p_2=(-1,0)$. Por qué: el gráfico no trae su ecuación y hace falta para ubicar el corte con la hipérbola. La pendiente es el cociente de las diferencias:

En $x=0$ vale $\frac12$, así que $b=\frac12$:

Lectura del gráfico (pendiente de revisión): en el gráfico no están rotulados los puntos de corte. Se leyó que el borde izquierdo de la región es la vertical que pasa por el punto donde la recta corta a la hipérbola, el borde derecho es la vertical $x=2$, abajo está el eje $x$ y arriba la hipérbola $y=\frac1x$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: hallar donde la recta corta a la hipérbola. Por qué: ese punto da el borde izquierdo de $D$. Se igualan $\frac{x+1}{2}=\frac1x$ y se multiplica por $2x$ (con $x\neq0$):

Pasando el $2$ restando queda una cuadrática, que se factoriza:

Las raíces son $x=-2$ y $x=1$. En el gráfico el corte sombreado está en el primer cuadrante (la raíz $-2$ corresponde a la rama del tercer cuadrante). Entonces $x=1$ y el punto es $(1,1)$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: describir la región $D$. Por qué: con el dibujo se lee: entre las verticales $x=1$ y $x=2$, por encima del eje $x$ y por debajo de la hipérbola:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: decidir techo y piso. Por qué: esta vez las dos superficies son positivas en $D$ y hay que comparar. En $D$ vale $y\le\frac1x$, o sea $xy\le1$, y entonces

El techo es $z_2=x$ y el piso es $z_1=x^2y$ (a diferencia del tema 1, acá no hay una superficie negativa). Cómo reconocerlo: probá un punto de $D$, por ejemplo $(\tfrac32,\tfrac15)$: $x=1{,}5$ y $x^2y=0{,}45$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: plantear la integral. Por qué: el volumen es la integral de (techo − piso) sobre $D$, en el orden $dy\,dx$ porque los límites de $y$ dependen de $x$ y los de $x$ son números:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: integrar en $y$ (interna, $x$ constante). Por qué: la primitiva de $x$ es $xy$ y la de $x^2y$ es $\frac{x^2y^2}{2}$:

Evaluando en $y=\frac1x$ (en $y=0$ vale 0):

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Qué: integrar en $x$. Por qué: quedó una constante, que se multiplica por la longitud $2-1=1$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: copiar el techo del tema 1: acá el techo es $z=x$ y no $z=x^2y$ (si restás al revés da $-\frac12$), y no olvidar que el corte con la hipérbola se halla con la recta.

Criterio estimado — no oficial (la consigna de corrección no está en la foto; se supone que piden gráfico, planteo y todas las cuentas):

• Bien: recta $y=\frac{x+1}{2}$, corte en $x=1$, región $D$ dibujada, integral $\int_1^2\!\int_0^{1/x}(x-x^2y)\,dy\,dx$ con techo $z=x$ y $V=\frac12$.
• A medias: planteo correcto pero con un error de cuenta que cambia el resultado.
• Mal: sin región ni planteo, o límites inventados, o techo y piso invertidos sin justificar.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Camino independiente: cambiar el orden de integración ($dx$ primero). Con $y$ fijo, $x$ va de $1$ a $2$ mientras $y\le\frac12$; para $\frac12\le y\le1$ el borde derecho es la hipérbola ($x=\frac1y$).

Primitiva en $x$: $\int(x-x^2y)\,dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3y}{3}$.

Tramo 1 ($0\le y\le\frac12$, $x$ de $1$ a $2$):

Tramo 2 ($\frac12\le y\le1$, $x$ de $1$ a $\frac1y$):

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Fijate qué hay en cada ecuación. En la a), ¿de qué variables depende el lado derecho, y cómo? En la b), ¿cómo aparece $y$ respecto de $y'$ una vez que abrís la fracción? Mirá si podés agrupar cada ecuación en una forma conocida.

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La a) es una EDO homogénea: dividiendo todo por $x$ aparece sólo $\frac yx$, y se usa $y=ux$. Machete: EDO homogénea. La b) es lineal de primer orden ($y'+P(x)y=Q(x)$) y se resuelve con $y=u\cdot v$. Machete: EDO lineal.

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Planteo casi hecho. a) $y'=\dfrac yx+\sqrt{1-\big(\tfrac yx\big)^2}$; con $y=ux$ queda $u'x=\sqrt{1-u^2}$, que se separa en variables. b) $y'-\dfrac4x\,y=x^4e^x$, con $P=-\frac4x$, $Q=x^4e^x$; se busca $v$ con $v'=\frac4x\,v$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): pasar a forma homogénea. Por qué: se despeja $y'$ dividiendo por $dx$ y luego por $x$ (con $x>0$, ya que $x(1)=1$, es $\sqrt{x^2}=x$):

Cómo reconocerlo: todo el lado derecho depende sólo de $\frac yx$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): cambio $y=ux$. Por qué: así $\frac yx=u$ y $y'=u'x+u$:

Se separan variables ($u'=\frac{du}{dx}$) y se integra, con $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u$:

(se escribe $\ln x$ sin valor absoluto porque $x>0$).

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Qué (a): condición inicial $y(1)=-1$. Por qué: en $x=1$ es $u=\frac yx=-1$, y $\ln1=0$:

Despejando $u$ (con $\sin(\alpha-\frac\pi2)=-\cos\alpha$):

Dominio: hace falta $\sin(\ln x)\ge0$ ($u'x=\sqrt{1-u^2}=\sin(\ln x)$ tiene que ser la raíz, no negativa), o sea $1\le x\le e^{\pi}$. Así, $y=-x\cos(\ln x)$ vale solo en $[1,e^\pi]$: para $x<1$ daría $x\sin(\ln x)<0$, que no puede ser una raíz.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (a): buscar las soluciones constantes $u=\pm1$. Por qué: al dividir por $\sqrt{1-u^2}$ se pierden las $u$ que lo anulan. Con $u=-1$ es $y=-x$: $y'=-1$, y $xy'-y=-x+x=0=\sqrt{x^2-y^2}$, así que cumple la EDO y $y(1)=-1$ (y $u=1$ da $y=x$). No hay unicidad: $f(x,y)=\frac yx+\sqrt{1-(y/x)^2}$ tiene $\frac{\partial f}{\partial y}$ no acotada cuando $|u|=1$, y el teorema de existencia y unicidad no aplica en $(1,-1)$. La solución de separar variables se despega de $y=-x$ en $x=1$.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): pasar a forma lineal. Por qué: para reconocer $P$ y $Q$ se abre la fracción:

Pasando el término en $y$ a la izquierda:

Cómo reconocerlo: $y$ e $y'$ aparecen sólo a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí.

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué (b): proponer $y=u\cdot v$ y reemplazar. Por qué: al derivar $y'=u'v+uv'$, y la ecuación queda con dos incógnitas, lo que da libertad para elegir $v$:

Se elige $v$ para que el paréntesis valga cero: $v'=\frac4x\,v$. Separando variables, $\int\frac{dv}{v}=\int\frac4x\,dx$ da $\ln|v|=4\ln|x|$, o sea (sin constante):

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Qué (b): hallar $u$ y usar $y(1)=2e$. Por qué: con el paréntesis nulo queda $u'v=x^4e^x$; con $v=x^4$:

Entonces $y=uv=x^4(e^x+C)$. En $x=1$:

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

a) $y=-x\cos(\ln x)$

b) $y=x^4\,(e^x+e)$

Ojo con: en la a) perder la solución constante $u=\pm1$: acá $y=-x$ también cumple la ecuación y la condición $y(1)=-1$, así que el problema no tiene solución única. Lo más probable es que la cátedra espere la que sale de separar variables (estimación, no oficial); conviene mencionar también $y=-x$. En la b), el signo de $P$ (queda $-\frac4x$ al pasar $\frac4x\,y$ restando).

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: a) $u=\frac yx$, $\arcsin u=\ln x+C$, $C=-\frac\pi2$ y $y=-x\cos(\ln x)$; b) forma lineal, $v=x^4$, $u=e^x+C$ y $C=e$. Suma mencionar la solución singular $y=-x$ (no se espera como única respuesta).
• A medias: método correcto en ambas pero un error de signo o de constante, o una de las dos resuelta sin aplicar la condición inicial.
• Mal: no reconoce el tipo de ecuación o usa un método que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

a) Sustituir en $xy'-y$. Con $y=-x\cos(\ln x)$, $y'=-\cos(\ln x)+\sin(\ln x)$ (la derivada de $\cos(\ln x)$ es $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$):

y $\sqrt{x^2-y^2}=x\sqrt{1-\cos^2(\ln x)}=x\sin(\ln x)$ si $\sin(\ln x)\ge0$ (para $1\le x\le e^\pi$). Condición: $y(1)=-1\cdot\cos0=-1$.

b) Sustituir en la ecuación. Con $y=x^4e^x+ex^4$:

Y el lado derecho, $x^5e^x+4y$, es:

Son iguales (la ecuación original es $xy'=x^5e^x+4y$). Condición: $y(1)=e+e=2e$.

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Mirá la ecuación: $y''$ e $y$ con coeficientes que son números, y del lado derecho una exponencial por un seno. ¿Qué tipo de ecuación es y qué forma tiene su solución general?

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Es una EDO lineal de 2.º orden con coeficientes constantes, no homogénea, con lado derecho “de manual”: $y=y_h+y_p$ con coeficientes indeterminados. Primero $y_h$ con la característica; después $y_p$ copia la forma del lado derecho (ojo con la resonancia). Machete: EDO 2.º orden, coeficientes indeterminados.

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Planteo casi hecho: característica $r^2+1=0$, $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$. El lado derecho $e^{-x}\sin x$ tiene “exponente” $-1\pm i$, que no es raíz ($\pm i$), así que no hay resonancia:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: resolver la homogénea. Por qué: $y_h$ siempre forma parte de la solución general.

Raíces complejas $\alpha\pm\beta i$ con $\alpha=0$, $\beta=1$:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: proponer $y_p$. Por qué: el lado derecho es exponencial por seno y su “exponente complejo” es $-1+i$. Cómo reconocerlo: se compara con las raíces de la característica: $-1+i\ne\pm i$, así que no se multiplica por $x$. Va seno y coseno aunque el lado derecho sólo traiga seno, porque al derivar uno genera al otro:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: derivar $y_p$ dos veces. Por qué: para reemplazar en la ecuación. Con la regla del producto (la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$):

Derivando de nuevo con la misma regla:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: reemplazar en $y''+y$. Por qué: $y_p$ tiene que cumplir la ecuación. Coeficiente de cada función (uno por línea), sumando $y_p''$ e $y_p$:

• coseno: $-2B+A$
• seno: $2A+B$

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: igualar coeficientes. Por qué: dos funciones iguales para todo $x$ tienen los mismos coeficientes en $\cos x$ y en $\sin x$:

De la primera, $A=2B$. Reemplazando en la segunda:

Paso · Elaborado para el sitio — no oficial

Qué: armar la solución general. Por qué: $y=y_h+y_p$.

Solución · Elaborado para el sitio — no oficial

Solución elaborada — no oficial, verificada con sympy.

Ojo con: proponer sólo $Ae^{-x}\sin x$ (hay que incluir el coseno) y los signos al derivar $e^{-x}$.

Criterio estimado — no oficial (sin consigna de corrección a la vista):

• Bien: $y_h$ con raíces $\pm i$, $y_p$ con seno y coseno, sistema $A-2B=0$, $2A+B=5$ y solución con $A=2$, $B=1$.
• A medias: $y_h$ y la forma de $y_p$ bien, pero errores de derivación o de signo en los coeficientes.
• Mal: no distingue $y_h$ de $y_p$, o propone un $y_p$ que no corresponde.

Comprobación · Elaborado para el sitio — no oficial

Sustituir $y_p=e^{-x}(2\cos x+\sin x)$ en la ecuación, derivando con números. Primera derivada ($-A+B=-1$ y $-A-B=-3$):

Segunda derivada ($-2B=-2$ y $2A=4$):

Sumando $y_p=e^{-x}[2\cos x+\sin x]$:

Cumple la ecuación.