EDO de 2.º orden homogénea, coeficientes constantes

Machete · Elaborado para el sitio — no oficial

Primera mitad del ejercicio 5 del 31/10. Antes de buscar la particular, resolvé la misma ecuación con segundo miembro cero.

Cómo reconocerlo

Tiene $y''$, $y'$ e $y$, con coeficientes constantes:

$$ay''+by'+cy=0,\qquad a\ne0.$$

$y''$ es la derivada de $y'$: vas a derivar dos veces. Si el segundo miembro no es cero, esta guía resuelve solo la parte llamada homogénea, $y_h$.

Pasos cortos

1. Ordená la ecuación, con las derivadas del mismo lado.
2. Si hay otro segundo miembro, reemplazalo provisionalmente por $0$.
3. Cambiá $y''$ por $k^2$, $y'$ por $k$ e $y$ por $1$.
4. Conservá los coeficientes: sale $ak^2+bk+c=0$.
5. Factorizá o calculá las raíces con $k=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$.
6. Elegí la fila de la tabla.
7. Escribí dos constantes distintas, $C_1$ y $C_2$.

Raíces que obtuviste	Escribí $y_h$
Dos reales distintas $k_1,k_2$	$C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$
Una real repetida $k$	$(C_1+C_2x)e^{kx}$
Complejas $\alpha\pm i\beta$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

El $x$ del caso repetido es necesario: sin él estarías escribiendo dos veces la misma solución.

Ejemplo del parcial del 31/10

La original es $y''-2y'+y=2e^x+1$.

1. Homogénea: $y''-2y'+y=0$.
2. Característica: $k^2-2k+1=0$.
3. Factorizá: $(k-1)^2=0$.
4. La raíz es $k=1$ doble.
5. Elegí la segunda fila:

$$\boxed{y_h=(C_1+C_2x)e^x}.$$

Todavía no terminaste el ejercicio original. Falta buscar $y_p$ y sumar $y=y_h+y_p$ en el machete de coeficientes indeterminados.

Si hay condiciones iniciales

Primero armá la solución completa. Después:

1. Reemplazá $x=x_0$ en $y(x)$ e igualá al valor dado $y(x_0)$.
2. Derivá toda la solución.
3. Reemplazá $x=x_0$ en $y'(x)$ e igualá al dato $y'(x_0)$.
4. Resolvé esas dos ecuaciones para $C_1,C_2$.

Si pide solución general y no da datos iniciales, las dos constantes quedan libres.

Comprobá y evitá estos errores

• Para $e^x$: $y'=e^x$, $y''=e^x$ y $y''-2y'+y=0$.
• Para $xe^x$: $y'=(x+1)e^x$, $y''=(x+2)e^x$; también da $0$.
• La característica de $y''-2y'+y$ lleva $-2k$, no $+2k$.
• Con raíces complejas, no olvides el factor $e^{\alpha x}$ en los dos términos.
• Prueba sin mirar: resolvé $k^2-2k+1=0$ y explicá por qué aparece $xe^x$.

En qué ejercicios oficiales aparece

• 1h10-2026-10-31-a#5
• 1r3-2025-11-14#5
• 1r7-2025-11-11#5
• 1v1-2025-11-13-a#5
• 1v1-2025-11-13-b#5
• 2s2-2025-11-07-a#5
• 2s2-2025-11-07-b#5
• 1h9-2026-06-27-a#4
• 1h9-2026-06-27-b#4
• recup-1h10-2025-11-08#5
• recup-2025-11-20#4

Fuente

• 09-ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR2015, p. 3 (Wronskiano) y siguientes
• 15_Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden, p. 1
• AM2 Resumen segundo parcial, p. 27-29
• 2026-10-31-1H10-A, p. 1 (enunciado aportado por Gabi; resolución elaborada para el sitio)